Dane:

$E_k=30\text{MeV}=30\cdot {10}^6\text{eV}=30\cdot {10}^6\text{V}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}=48\cdot {10}^{-13}\text{J}=4,8\cdot {10}^{-12}\text{J}$

$m_e=9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}$

$c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$   

Szukane:

$\frac{E_k}{E_s}=?$

$\frac{v}{c}=?$  

Rozwiązanie:

a)

Energię spoczynkową elektronu wyrazimy jako:

$E_s=m_e{c}^2$  

---

$m_e-\text{masa elektronu}$

$c-\text{prędkosˊcˊ sˊwiatła}$

---

Wyznaczmy szukany stosunek energii kinetycznej i energii spoczynkowej:

$\frac{E_k}{E_s}=\frac{E_k}{m_e{c}^2}$    

$\frac{E_k}{E_s}=\frac{4,8\cdot {10}^{-12}\text{J}}{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot {\left(3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\frac{4,8\cdot {10}^{-12}\text{J}}{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot 9\cdot {10}^{16}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=\frac{4,8\cdot {10}^{-12}\text{J}}{81,9\cdot {10}^{-15}\text{J}}\approx 0,059\cdot {10}^3=59$  

 

b)

Korzystamy ze wzoru na relatywistyczną energię kinetyczną:

$E_k=\frac{m_e{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_e{c}^2=m_e{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)$  

---

$m_e-\text{masa elektronu}$

$c-\text{prędkosˊcˊ sˊwiatła}$  

$v-\text{wartosˊcˊ prędkosˊci z jaką porusza się elektron}$  

---

Stąd:

$\frac{E_k}{m_e{c}^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1$  

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{E_k}{m_e{c}^2}+1$  

$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\frac{E_k}{m_e{c}^2}+1}$  

$1-\frac{v^2}{c^2}={\left(\frac{1}{\frac{E_k}{m_e{c}^2}+1}\right)}^2$  

$\frac{v^2}{c^2}=1-{\left(\frac{1}{\frac{E_k}{m_e{c}^2}+1}\right)}^2$  

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\frac{E_k}{m_e{c}^2}+1}\right)}^2}$  

 

Korzystamy z wyznaczonego wcześniej stosunku:

$\frac{E_k}{m_e{c}^2}\approx 59$  

Oblicz wartość zadanego ilorazu:

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{59+1}\right)}^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{60}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3600}}=\sqrt{\frac{3599}{3600}}\approx \sqrt{0,9997}\approx 0,9998$