a)

Promieniowanie złożone z fotonów o największej energii to promieniowanie o najmniejszej długości fali, czyli krótkofalowa granica ciągłego widma promieniowania hamowania. Korzystając ze związków między częstotliwością i długością fali, możemy zapisać wzór:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}$  

gdzie $E_k$   jest energia kinetyczną, $h$   jest stałą Plancka, $c$   jest prędkością światła, ${\lambda }_{\text{min}}$   jest minimalną długością fali. Energia kinetyczna będzie równa elektrycznej energii hamującej. Energię elektryczną przedstawiamy wzorem:

$E=q\cdot U$

gdzie $E$   jest energia z jaką porusza się ładunek o wartości $q$   przyspieszony napięciem $U$  . W naszym przypadku ładunkiem jest elektron, czyli mamy:

$E_k=E$

$E_k=q\cdot U$

$E_k=e\cdot U$  

Wówczas długość fali promieniowania rentgenowskiego możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}\mid \cdot \frac{{\lambda }_{\text{min}}}{E_k}$   

${\lambda }_{\text{min}}=\frac{h\cdot c}{E_k}$  

${\lambda }_{\text{min}}=\frac{h\cdot c}{e\cdot U}$     

Z tego wynika, że długość fali ograniczona jest przez napięcie między katodą i anodą lampy rentgenowskiej.  

 

b)

W zadaniu podane mamy, że:

${\lambda }_{\text{min}}=1\text{nm}={10}^{-9}\text{m}$  

Korzystamy z wzoru:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}$  

Wiemy, że energię kinetyczną możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{m\cdot v^2}{2}$  

gdzie $E_k$   jest energią kinetyczna ciała o masie $m$   poruszającego się z prędkością $v$  . W naszym przypadku poruszającym się ciałem jest elektron. Energia kinetyczna elektronu będzie miała postać:

$E_k=\frac{m_e\cdot v^2}{2}$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}$

$\frac{m_e\cdot v^2}{2}=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}\mid \cdot \frac{2}{m_e}$  

$v^2=\frac{2\cdot h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}\cdot m_e}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{2\cdot h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}\cdot m_e}}$  

Z tablic fizycznych odczytujemy stałą Plancka, prędkość światła i masę elektronu:

$h=6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$  

$c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$m_e=9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{2\cdot 6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{{10}^{-9}\text{m}\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}}}=\sqrt{\frac{39,78\cdot {10}^{-26}\text{J}\cdot \text{m}}{9,1\cdot {10}^{-40}\text{kg}\cdot \text{m}}}=\sqrt{\frac{39,78\cdot {10}^{-26}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}}{9,1\cdot {10}^{-40}\text{kg}\cdot \text{m}}}\approx$  

$\approx \sqrt{4,37\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 2,09045\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 2,1\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}$   

 

c) 

Korzystamy z wzoru:

$E_k=e\cdot U$  

Wówczas:

$e\cdot U=E_k$  

$e\cdot U=\frac{m_e\cdot v^2}{2}\mid :e$  

$U=\frac{m_e\cdot v^2}{2\cdot e}$  

Z tablic fizycznych odczytujemy wartość ładunku elektronu:

$e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U=\frac{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot {\left(2,09045\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}=\frac{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot 4,369981203\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{3,2\cdot {10}^{-19}\text{C}}=$     

$=\frac{39,76682894\cdot {10}^{-17}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{3,2\cdot {10}^{-19}\text{C}}=\frac{39,76682894\cdot {10}^{-17}\text{J}}{3,2\cdot {10}^{-19}\text{C}}\approx 12,4\cdot {10}^2\frac{\text{J}}{\text{C}}=1240\text{V}$