Dane:

$x=1\text{m}$

${\lambda }_{\text{f}}=400\text{nm}=400\cdot {10}^{-9}\text{m}=4\cdot {10}^{-7}\text{m}$

${\lambda }_{\text{cz}}=800\text{nm}=800\cdot {10}^{-9}\text{m}=8\cdot {10}^{-7}\text{m}$    

$d=5\cdot {10}^{-3}\text{mm}=5\cdot {10}^{-6}\text{m}$  

Szukane:

$\Delta y_{\text{I}}=?$

$\Delta y_{\text{II}}=?$   

$\Delta y_{\text{III}}=?$

Rozwiązanie:

a)

Na siatce dyfrakcyjnej następuje rozszczepienie światła białego na poszczególne barwy składowe. Fale elektromagnetyczne odpowiadające poszczególnym barwom składowym różnią się długościami, dlatego ulegają ugięciu pod innymi kątami.

W celu określenia szerokości widma $\Delta y$   rozpatrujemy dwa skrajne promienie świetlne - czerwony i fioletowy.

Możemy zapisać:

$\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{f}}=\frac{y}{x}$

$\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{cz}}=\frac{y+\Delta y}{x}$   

Stąd:

$\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{cz}}-\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{f}}=\frac{y+\Delta y}{x}-\frac{y}{x}$  

$\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{cz}}-\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{f}}=\frac{y+\Delta y-y}{x}$  

$\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{cz}}-\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{f}}=\frac{\Delta y}{x}$  

$\Delta y=x\cdot \left(\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{cz}}-\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{f}}\right)$  

 

Korzystamy ze wzoru opisującego interferencje na siatce dyfrakcyjnej.

$n\cdot \lambda =d\cdot \sin \alpha$  

---

$n-\text{liczba naturalna (numer prąz˙ka interferencyjnego)}$  

$\lambda -\text{długosˊcˊ fali}$  

$d-\text{stała siatki dyfrakcyjnej}$

$\alpha -\text{kąt ugięcia, pod ktoˊrym obserwujemy prąz˙ek interferencyjny}$   

---

Odpowiednie kąty ugięcia będziemy mogli wyznaczyć przy pomocy wzoru:

$\sin \alpha =\frac{n\lambda }{d}$  

 

Dla małych kątów ugięcia możemy skorzystać z przybliżenia:

$\mathrm{tg}\alpha \approx \sin \alpha$

 

Zatem:

$\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{cz}}\approx \frac{n{\lambda }_{\text{cz}}}{d}$  

$\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{f}}\approx \frac{n{\lambda }_{\text{f}}}{d}$  

 

Obliczmy szerokość widm:

$\Delta y=x\cdot \left(\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{cz}}-\mathrm{tg}{\alpha }_{\text{f}}\right)$  

$\Delta y=x\cdot \left(\frac{n{\lambda }_{\text{cz}}}{d}-\frac{n{\lambda }_{\text{f}}}{d}\right)$  

$\Delta y=x\cdot \left(\frac{n{\lambda }_{\text{cz}}-n{\lambda }_{\text{f}}}{d}\right)$  

$\Delta y=x\cdot \left(\frac{n\left({\lambda }_{\text{cz}}-{\lambda }_{\text{f}}\right)}{d}\right)$  

 

Widmo I rzędu - $n=1$  :

$\Delta y_{\text{I}}=1\text{m}\cdot \left(\frac{1\cdot \left(8\cdot {10}^{-7}\text{m}-4\cdot {10}^{-7}\text{m}\right)}{5\cdot {10}^{-6}\text{m}}\right)=1\text{m}\cdot \frac{4\cdot {10}^{-7}\text{m}}{5\cdot {10}^{-6}\text{m}}=0,8\cdot {10}^{-1}\text{m}=0,08\text{m}=8\text{cm}$  

 

Widmo II rzędu - $n=2$  :

$\Delta y_{\text{II}}=1\text{m}\cdot \left(\frac{2\cdot \left(8\cdot {10}^{-7}\text{m}-4\cdot {10}^{-7}\text{m}\right)}{5\cdot {10}^{-6}\text{m}}\right)=1\text{m}\cdot \frac{8\cdot {10}^{-7}\text{m}}{5\cdot {10}^{-6}\text{m}}=1,6\cdot {10}^{-1}\text{m}=0,16\text{m}=16\text{cm}$  

 

Widmo III rzędu - $n=3$  :

$\Delta y_{\text{III}}=1\text{m}\cdot \left(\frac{3\cdot \left(8\cdot {10}^{-7}\text{m}-4\cdot {10}^{-7}\text{m}\right)}{5\cdot {10}^{-6}\text{m}}\right)=1\text{m}\cdot \frac{12\cdot {10}^{-7}\text{m}}{5\cdot {10}^{-6}\text{m}}=2,4\cdot {10}^{-1}\text{m}=0,24\text{m}=24\text{cm}$  

 

b)

Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest rosnącą funkcją rzędu widma.