Dane:

$\lambda =580\text{nm}=580\cdot {10}^{-9}\text{m}=5,8\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

$x=1\text{cm}=0,01\text{m}$   

$k=4550$    

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

${\alpha }_1=?$  

${\alpha }_2=?$  

Rozwiązanie: 

Naszym celem jest wyznaczenie kątów ugięcia światła na siatce dyfrakcyjnej dla prążków pierwszego i drugiego rzędu.

SIATKA DYFRAKCYJNA Wzór wiążący kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu z długością fali padającego promieniowania i stałą siatki dyfrakcyjnej ma postać: $n\lambda =d\sin {\alpha }_n$ gdzie: $n$ - numer rzędu obserwowanego prążka, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania, $d$ - stała siatki dyfrakcyjnej, ${\alpha }_n$ - kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu. Stała siatki określa odległość pomiędzy rysami: $d=\frac{x}{k}$ gdzie: $x$ - długość siatki, $k$ - liczba rys.

Korzystamy z obu wzorów dla siatki dyfrakcyjnej i otrzymujemy:

$d\sin {\alpha }_n=n\lambda$

$\frac{x}{k}\sin {\alpha }_n=n\lambda |\cdot k$

Wyznaczamy zależność na sinus kąta ugięcia.

 $x\sin {\alpha }_n=n\lambda k|:x$

$\sin {\alpha }_n=\frac{n\lambda k}{x}$

▶ Dla pierwszego wzmocnienia ($n=1$) otrzymujemy:

$\sin {\alpha }_1=\frac{1\cdot \lambda k}{x}$  

$\sin {\alpha }_1=\frac{\lambda k}{x}$  

Podstawiamy dane liczbowe:

$\sin {\alpha }_1=\frac{5,8\cdot {10}^{-7}\text{m}\cdot 4550}{0,01\text{m}}=\frac{26390\cdot {10}^{-7}}{0,01}=$  

$=\frac{0,0026390}{0,01}=0,2639$  

Wówczas:

${\alpha }_1\approx {15}^{\circ }$   

▶ Dla drugiego wzmocnienia ($n=2$) otrzymujemy:

$\sin {\alpha }_2=\frac{2\lambda k}{x}$  

$\sin {\alpha }_2=2\cdot \frac{\lambda k}{x}$  

$\sin {\alpha }_2=2\sin {\alpha }_1$  

$\sin {\alpha }_2=2\cdot 0,2639=0,5278$  

Wówczas:

${\alpha }_2\approx {32}^{\circ }$  

Odpowiedź: Kąt ugięcia dla pierwszego wzmocnienia wynosi około $15^{\circ }$, a kąt ugięcia dla drugiego wzmocnienia wynosi około $32^{\circ }$.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$n_{\text{max}}=?$  

Rozwiązanie: 

Szukamy maksymalnego rzędu widma, czyli przypadku, dla którego obserwujemy ostatni prążek interferencyjny pod możliwie największym kątem. Wiemy, że wartość sinusa kąta $\alpha$ nie może przekroczyć 1. Korzystamy z wyznaczonego wcześniej wzoru:

$\sin {\alpha }_n=\frac{n\lambda k}{x}$

Dla ${\alpha }_{\max }⟶\sin {\alpha }_{\max }<1$

Otrzymujemy:

$1>\frac{n\lambda k}{x}|\cdot x$

Wyznaczamy zależność na rząd widma.

$x>n\lambda k|:\lambda k$

$\frac{x}{\lambda k}>n$

$n<\frac{x}{\lambda k}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$n<\frac{0,01\text{m}}{5,8\cdot {10}^{-7}\text{m}\cdot 4550}$  

$n<\frac{0,01\cancel{\mathrm{m}}}{26390\cdot 10^{-7}\cancel{\mathrm{m}}}$

$n<\frac{0,01}{0,002639}$

$n<3,8$

Z tego wynika, że największy rząd widma obserwowany za pomocą tej siatki może wynosić:

$n_{\text{max}}=3$

Odpowiedź: Największy rząd widma obserwowanego za pomocą tej siatki możemy wynosić 3.