$\text{a)}$  

Energię jaką dostarczamy możemy oszacować jako potencjalną energię elektrostatyczną. 

Energię potencjalną układu dwóch oddziałujących ze sobą ładunków w polu elektrostatycznym przedstawiamy wzorem:

$E_{\text{pot}}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r}$  

gdzie:

$k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$ - współczynnik proporcjonalności,

$q_1$  i $q_2$  - wartości ładunków,

$r$  - odległość pomiędzy ładunkami.

W naszym przypadku mamy:

$q_1=e$  

$q_2=7e$  

$r=d$  

gdzie:

$e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$  

$d=2\text{fm}=2\cdot {10}^{-15}\text{m}$  

Z tego wynika, że:

$E_{\text{pot}}=\frac{ke\cdot 7e}{d}$  

$E_{\text{pot}}=\frac{7k{e}^2}{d}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E=\frac{7\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {\left(1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\right)}^2}{2\cdot {10}^{-15}\text{m}}=\frac{7\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot 2,56\cdot {10}^{-38}{\text{C}}^2}{2\cdot {10}^{-15}\text{m}}=$  

$=\frac{161,28\cdot {10}^{-29}\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{2\cdot {10}^{-15}\text{m}}=80,64\cdot {10}^{-14}\text{N}\cdot \text{m}=80,64\cdot {10}^{-14}\text{J}=$  

$=8,064\cdot {10}^{-13}\text{J}=8,064\cdot {10}^{-13}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}=50,31936\cdot {10}^5\text{eV}=$  

$=5,031936\cdot {10}^6\text{eV}=5,031936\text{MeV}\approx 5,03\text{MeV}$  

UWAGA! Otrzymany powyżej wynik różni się od podanego w zbiorze zadań w wyniku przyjętych przybliżeń. 

 

$\text{b)}$  

Naszym zadaniem jest oszacowanie średniej energii kinetycznej cząstek o znanej temperaturze:

$T=20\text{mln}\text{K}=20\cdot {10}^6\text{K}=2\cdot {10}^7\text{K}$  

Średnią energię kinetyczną ruchu postępowego cząstek obliczamy korzystając ze wzoru:

$E_{\text{k.sˊr}}=\frac{3}{2}{k}_{B}T$  

gdzie:

$k_B=1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\text{J}}{\text{K}}$  - stała Boltzmanna, 

$T$  - temperatura cząstek wyrażona w stopniach Kelwina. 

Obliczamy energię protonów wynikającą z chaotycznego ruchu cząstek:

$E_{\text{k.sˊr}}=\frac{3}{\cancel{2}}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\text{J}}{\text{K}}\cdot \cancel{2}\cdot {10}^7\text{K}=4,14\cdot {10}^{-16}\text{J}=$  

$=4,14\cdot {10}^{-16}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}=25,8336\cdot {10}^2\text{eV}=2,58336\cdot {10}^3\text{eV}=$  

$=2,58336\text{keV}=2,6\text{keV}$  

Porównajmy energie obliczone w obu podpunktach:

$\frac{E_{\text{pot}}}{E_{\text{k.sˊr}}}=\frac{5,03\text{MeV}}{2,6\text{keV}}=\frac{5030\text{keV}}{2,6\text{keV}}\approx 1935$  

Energia dostarczana do protonu, aby przyłączyć go do azotu jest około 1935 razy większa niż energia kinetyczna, wynikająca z chaotycznych ruchów protonów. 

Skorzystajmy ze wskazówki dołączonej do zadania i poszukajmy informacji o zjawisku tunelowym. 

Zjawisko to wykracza poza uproszczony model fizyczny, który poznajemy w szkole ponadpodstawowej. Jest to zagadnienie związane z mechaniką kwantową. Zjawisko tunelowe polega na tym, że cząstka może przenikać przez bareirę potencjału (energii potencjalnej) o wysokości większej niż całkowita energia cząstki. 

Dzięki zjawisku tunelowemu reakcja opisana w zadaniu może zachodzić.