Dane:

$m_{\text{H}}=100\text{g}=0,1\text{kg}$

$m_{\text{w}}=1000\text{t}={10}^6\text{kg}$

$h=10\text{m}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ deficyt masy jądra helu w jednostkach energii: $E_{\text{He}}=28,4\text{MeV}$

▶ masa spoczynkowa protonu: $m_p=1,6726\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}$.

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$,

▶ zamiana jednostek energii:$1\mathrm{eV}=1,6\cdot 10^{-19}\mathrm{J}$.

Szukane:

$\frac{E_{\text{fuzji}}}{E_{\text{wody}}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest porównanie energii uzyskiwanej z fuzji wodoru i spadania dużej masy wody (np. w elektrowni wodnej).

Fuzja

Sumarycznie w cyklu proton-proton zachodzącym na Słońcu, w wyniku fuzji 4 jąder wodoru powstaje jedno jądro helu. Energia wydzielona w tej reakcji jest równoważna deficytowi masy jądra helu i wynosi około:

$E_{\text{syntezy}}=28,4\text{MeV}$

Zatem energia syntezy przypadająca na pojedynczy wodór będzie równa:

$E_{\text{H}}=\frac{E_{\text{syntezy}}}{4}$   

gdzie:

$E_{\text{H}}$ - energia syntezy wodoru w hel w przeliczeniu na jeden atom wodoru,

$E_{\text{syntezy}}$ - energia wydzielana przy syntezie do helu.

Stąd:

$E_{\text{H}}=\frac{28,4\text{MeV}}{4}=7,1\text{MeV}$   

Musimy obliczyć ile jąder wodoru (czyli protonów) znajduje się w $0,1\mathrm{kg}$ wodoru.

$N=\frac{m_{\text{H}}}{m_{\text{protonu}}}$  

gdzie:

$N$ - liczba jąder wodoru w zadanej masie,

$m_{\text{H}}$ - masa pewnej objętości wodoru,

$m_{\text{protonu}}$ - masa protonu.

Stąd:

$N=\frac{0,1\text{kg}}{1,6726\cdot {10}^{-27}\text{kg}}\approx 0,05979\cdot {10}^{27}\approx 5,98\cdot {10}^{25}$  

Energię uwalnianą w wyniku fuzji $0,1\mathrm{kg}$ wodoru obliczymy jako:

$E_{\text{fuzji}}=N{E}_{\text{H}}$

gdzie:

$E_{\text{fuzji}}$ - energia uzyskana w wyniku fuzji wodoru w hel.

Zatem:

$E_{\text{fuzji}}=5,98\cdot {10}^{25}\cdot 7,1\text{MeV}=42,458\cdot {10}^{25}\text{MeV}=4,2458\cdot {10}^{26}\text{MeV}=$

$=4,2458\cdot {10}^{32}\text{eV}$  

$E_{\text{fuzji}}=4,2458\cdot {10}^{32}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{J}\approx 6,8\cdot {10}^{13}$  

Woda

Energia, którą można uzyskać dzięki spadkowi wody, będzie równa energii potencjalnej tej wody.

$E_{\text{wody}}=m_{\text{w}}gh$    

gdzie:

$m_{\text{w}}$ - masa wody,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość, z jakiej spada woda.

Zatem:

$E_{\text{wody}}={10}^6\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 10\text{m}=98,1\cdot {10}^6\text{J}=9,81\cdot {10}^7\text{J}$

Obliczmy szukany stosunek energii wynikającej z fuzji i energii spadku wody.

$\frac{E_{\text{fuzji}}}{E_{\text{wody}}}=\frac{6,8\cdot {10}^{13}\text{J}}{9,81\cdot {10}^7\text{J}}\approx 0,7\cdot {10}^6=7\cdot {10}^5=700000$   

Odpowiedź: Energia uwalniana w wyniku fuzji $100\mathrm{g}$ wodoru jest około $700$ tysięcy razy większa od energii uzyskiwanej przy spadku $1000\mathrm{t}$ wody z wysokości $10\mathrm{m}$.