Dane:

$E_k=5\text{MeV}=5\cdot {10}^6\text{eV}=$  

     $=5\cdot {10}^6\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{J}=8\cdot {10}^{-13}\text{J}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość ładunku elementarnego: $e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$, 

▶ stała elektryczna w próżni: $k=9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$.

Szukana:

$r_{\text{min}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie najmniejszej odległości, na którą zbliży się do jądra złota cząstka $\alpha$.

Przeanalizujmy opisaną w zadaniu sytuację. 

Rozpędzona cząstka alfa, która, jak wiemy ma ładunek dodatki, jest hamowana podczas zbliżania się do jądra atomu złota, które też jest dodatnie, przez oddziaływanie elektrostatyczne. Energia kinetyczna $E_k$   cząstki zamieniana jest zatem, zgodnie z zasadą zachowania energii, na energię potencjalną $E_p$   oddziaływania elektrostatycznego cząstki $\alpha$ (jądra helu) i jądra złota. Kiedy cząstka alfa straci całą energię kinetyczną znajdzie się w najmniejszej odległości od jądra złota.

Energię potencjalną układu dwóch oddziałujących ze sobą ładunków elektrycznych przedstawiamy wzorem:

$E_{\text{pot}}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r}$

gdzie:

$E_{\text{pot}}$ - energia potencjalna elektrostatyczna,

$k$ - stała elektryczna,

$q_1,q_2$ - wartości ładunków elektrycznych,

$r$ - odległość między ładunkami.

Pamiętając, że cząstka $\alpha$ to jądro helu, wiemy, że ładunek elektryczny cząstki $\alpha$ jest równy ładunkowi dwóch protonów.

$q_{\alpha }=2e$  

Z układu okresowego odczytujemy, że ładunek jądra złota jest równy ładunkowi 79 protonów.

$q_z=79e$  

Po uwzględnieniu powyższych informacji możemy zapisać wzór na energię potencjalną oddziaływania między cząstka $\alpha$ a jadrem złota:

$E_p=\frac{k{q}_{\alpha }{q}_z}{r_{\text{min}}}$  

Po rozpisaniu ładunków otrzymujemy:

$E_p=\frac{k\cdot 2e\cdot 79e}{r_{\text{min}}}=\frac{158k{e}^2}{r_{\text{min}}}$  

Pamiętając, że energia kinetyczna jest zamieniana na energię potencjalną możemy zapisać:

$E_k=E_p$

Zatem:

$E_k=\frac{158k{e}^2}{r_{\text{min}}}$  

Przekształcamy i wyznaczmy szukaną odległość na jaką zbliży się cząstka alfa do jądra złota.

$E_k=\frac{158k{e}^2}{r_{\text{min}}}|\cdot r_{\min }$

$E_k\cdot r_{\text{min}}=158k{e}^2|:E_k$  

$r_{\text{min}}=\frac{158k{e}^2}{E_k}$  

Podstawiamy dane i obliczamy:

$r_{\text{min}}=\frac{158\cdot 9\cdot {10}^9\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {\left(1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\right)}^2}{8\cdot {10}^{-13}\text{J}}=$  

     $=\frac{1422\cdot {10}^9\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot 2,56\cdot {10}^{-38}{\text{C}}^2}{8\cdot {10}^{-13}\text{N}\cdot \text{m}}=$

     $=455,04\cdot {10}^{-16}\text{m}\approx 4,6\cdot {10}^{-14}\text{m}$  

Odpowiedź: Minimalna odległość, na którą cząstka alfa zbliży się do jądra złota, wynosi w przybliżeniu $4,6\cdot {10}^{-14}\text{m}$.