$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Korzystamy z przybliżonego wzoru Dopplera dla fal elektromagnetycznych, ponieważ wartości prędkości źródła i odbiornika są dużo mniejsze od wartości prędkości światła:

$\nu {}^{\prime }=\nu \left(1\pm \frac{v}{c}\right)$   

gdzie:

${\nu }^{\prime }$ - częstotliwość fali odbieranej przez odbiornik na skutek zjawiska Dopplera,

$\nu$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$c$ - wartość prędkości światła (fali elektromagnetycznej),

$v$ - wartość prędkości względnej, z jaką zbliżają (+) / oddalają (-) się odbiornik i źródło.

W przypadku przedstawianym w zadaniu odbiornik oddala się od źródła z szybkością względną:

$v=v_{\text{odb}}-v_{\text{z}}$  

gdzie:

$v_{\text{odb}}$ - wartość prędkości odbiornika,

$v_{\text{z}}$ - wartość prędkości źródła.

Zatem:

$\nu {}^{\prime }=\nu \left(1-\frac{v}{c}\right)$  

$\nu {}^{\prime }=\nu \left(1-\frac{v_{\text{odb}}-v_{\text{z}}}{c}\right)$  

 Odpowiedź: 

${\nu }^{\prime }=\nu \left(1-\frac{v_{\text{odb}}-v_{\text{z}}}{c}\right)$

$\mathbf{b})$

Dane:

$v_{\text{z}}=0,005c$

$v_{\text{odb}}=0,02c$

$\nu =2\cdot {10}^7\text{Hz}$

Szukane:

$\nu {}^{\prime }=?$

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru wyprowadzonego w podpunkcie $\text{a)}$.

$\nu {}^{\prime }=\nu \left(1-\frac{v_{\text{odb}}-v_{\text{z}}}{c}\right)$

gdzie:

${\nu }^{\prime }$ - częstotliwość fali odbieranej przez odbiornik na skutek zjawiska Dopplera,

$\nu$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$c$ - wartość prędkości światła (fali elektromagnetycznej),

$v_{\text{odb}}$ - wartość prędkości odbiornika,

$v_{\text{z}}$ - wartość prędkości źródła.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\nu {}^{\prime }=2\cdot {10}^7\text{Hz}\cdot \left(1-\frac{0,02c-0,005c}{c}\right)=2\cdot {10}^7\text{Hz}\cdot \left(1-\frac{0,015\cancel{c}}{\cancel{c}}\right)=$  

$=2\cdot {10}^7\text{Hz}\cdot \left(1-0,015\right)=2\cdot {10}^7\text{Hz}\cdot 0,985=1,97\cdot {10}^7\text{Hz}$  

$\mathbf{c})$

Dane:

$v_{\text{z}}=0,005c$

$v_{\text{odb}}=0,02c$

$\nu =2\cdot {10}^7\text{Hz}$

Szukane:

$\nu {}^{\prime }=?$

Rozwiązanie:

Dokładny wzór Dopplera dla fal elektromagnetycznych ma postać:

$\nu {}^{\prime }=\nu \sqrt{\frac{1\pm \frac{v}{c}}{1\mp \frac{v}{c}}}$  

gdzie:

${\nu }^{\prime }$ - częstotliwość fali odbieranej przez odbiornik na skutek zjawiska Dopplera,

$\nu$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$c$ - wartość prędkości światła (fali elektromagnetycznej),

$v$ - wartość prędkości względnej, z jaką zbliżają/oddalają się odbiornik i źródło.

Znaki górne odpowiadają przypadkowi zbliżania się do siebie źródła i odbiornika, a znaki dolne przypadkowi ich oddalania. Zatem:

$\nu {}^{\prime }=\nu \sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$  

Względna szybkość odbiornika i źródła wynosi:

$v=v_{\text{odb}}-v_{\text{z}}$  

gdzie:

$v_{\text{odb}}$ - wartość prędkości odbiornika,

$v_{\text{z}}$ - wartość prędkości źródła.

Stąd:

$v=0,02c-0,005c=0,015c$

Zatem:

$\nu {}^{\prime }=\nu \sqrt{\frac{1-\frac{0,015c}{c}}{1+\frac{0,015c}{c}}}$  

$\nu {}^{\prime }=\nu \sqrt{\frac{1-0,015}{1+0,015}}$  

$\nu {}^{\prime }=\nu \sqrt{\frac{0,985}{1,015}}$  

$\nu {}^{\prime }=\nu \cdot 0,98511$  

Obliczamy częstotliwość odbieraną przez odbiornik:

$\nu {}^{\prime }=2\cdot {10}^7\text{Hz}\cdot 0,98511\approx 1,9702\cdot {10}^7\text{Hz}\approx 1,97\cdot {10}^7\text{Hz}$  

Odpowiedź: Wyniki otrzymane ze wzoru dokładnego i przybliżonego są prawie identyczne. Jeżeli prędkości źródła i odbiornika są odpowiednio małe, to wzór przybliżony wystarcza do obliczenia częstotliwości odbieranej przez odbiornik.