Proton porusza się z prędkością 0,8c. Przy jakiej prędkości...- Zadanie 1: Zrozumieć fizykę 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$v_{1} = 0, 8 c$

$E_{k2} = 2 E_{k1}$

Szukane:

$v_{2} = ?$

Rozwiązanie:

$a)$

Relatywistyczną energię kinetyczną obiektu obliczamy z zależności:

$E_{k} = m c^{2} \frac{1}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} - 1$

gdzie:

$E_{k}$ - relatywistyczna energia kinetyczna,

$m$ - masa,

$c$ - wartość prędkości światła w próżni,

$v$ - szybkość, z jaką porusza się ten obiekt.

Dla poszczególnych prędkości energie kinetyczne będą miały postać:

$E_{k1} = m c^{2} \frac{1}{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}} - 1$

$E_{k2} = m c^{2} \frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} - 1$

Z zależności podanej w zadaniu możemy wyznaczyć szybkość protonu przy dwa razy większej energii:

$E_{k2} = 2 E_{k1}$

$m c^{2} \frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} - 1 = 2 m c^{2} \frac{1}{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} - 1 = 2 \frac{1}{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} - 1 = \frac{2}{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}} - 2 ∣ + 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{2}{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}} - 1$

Podstawiamy zależność na szybkość początkową protonu:

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{2}{1 - \frac{( 0 , 8 c ) ^{2}}{c ^{2}}} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{2}{1 - \frac{0 , 64 c ^{2}}{c ^{2}}} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{2}{1 - 0 , 64} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{2}{0 , 36} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{2}{0 , 6} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{10}{3} - 1$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{10}{3} - \frac{3}{3}$

$\frac{1}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} = \frac{7}{3}$

Wymnażamy na krzyż:

$3 = 7 1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}} ∣^{2}$

$9 = 49 (1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}})$

$9 = 49 - \frac{49 v _{2}^{2}}{c ^{2}} ∣ + \frac{49 v _{2}^{2}}{c ^{2}}$

$9 + \frac{49 v _{2}^{2}}{c ^{2}} = 49 ∣ - 9$

$\frac{49 v _{2}^{2}}{c ^{2}} = 40 ∣ \cdot c^{2}$

$49 v_{2}^{2} = 40 c^{2} ∣ : 49$

$v_{2}^{2} = \frac{40}{49} c^{2} ∣$

$v_{2} = \frac{40}{7} c$

$v_{2} = \frac{2 10}{7} c$

$v_{2} \approx \frac{2 \cdot 3 , 1623}{7} c$

$v_{2} \approx \frac{6 , 3246}{7} c$

$v_{2} \approx 0, 904 c$

Odpowiedź: Energia kinetyczna protonu jest dwa razy większa przy szybkości $v = \frac{2 10}{7} c$ , czyli około $0, 904 c$ .

$b)$

Aby wykonać to zadania graficznie musimy wykonać wykres:

Rozwiązując to zadanie metodą graficzną i sugerując się rysunkiem 19.27 zacznijmy od narysowania w układzie funkcji energii kinetycznej od szybkości ruchu cząstki. Zadana jest ona wzorem:

$E_{k} (v) = m c^{2} \frac{1}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} - 1$

Rozważają przypadek rzeczywisty maksymalna wartość energii kinetycznej jest dla szybkości światła. Oznacza to, że dziedzina tej funkcji zawiera się w przedziale:

$v = [0, c]$

Wykonajmy obliczenia dla szybkości zmieniającej się co $0, 1 c$ . Dla ułatwienia możemy je wykonać w tabeli w narzędziu Arkusze od Googla.

Niech w pierwszym wierszu znajdują się wartości poszczególnych prędkości:

W wierszu 2 niech będzie iloraz szybkości do wartości prędkości światła $\frac{v}{c}$ :

W kolejnych wierszach obliczmy:

▶ wiersz 3: kwadrat ilorazu szybkości z drugiego wiersza: $\frac{v ^{2}}{c ^{2}}$ ,

▶ wiersz 4: różnicę pomiędzy 1, a kwadratem ilorazu z trzeciego wiersza: $1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}$ ,

▶ wiersz 5: pierwiastek z wyrażenia zawartego w czwartym wierszu: $A = 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}$ ,

▶ wiersz 6: iloraz 1 i wartości z piątego wiersza: $B = \frac{1}{A} = \frac{1}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$ ,

Zwróćmy jeszcze uwagę na kwestię wartości $B$ dla $v = c$ . Zauważmy, że dla $A$ mamy:

$A = 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{c ^{2}}{c ^{2}} = 1 - 1 = 0$

Oznacza to, że w takim przypadku wyrażenie $B = \frac{1}{A}$ dąży do nieskończoności $B \to \infty$ .

▶ wiersz 7: różnicę pomiędzy wyrażeniem z wiersza 6 i liczbą 1: $C = \frac{E _{k}}{m c ^{2}} = \frac{1}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} - 1$ ,

Uwaga do kolumny K: dla $v = c$ mamy nieskończoność minus jeden, czyli nieskończoność.

Otrzymamy wówczas wyniki:

Wykres za pomocą linijki możemy wykonać z dokładnością do 1 milimetra. Naszą jednostką na osi energię będzie iloczyn $m c^{2}$ . Pomnóżmy wyniki otrzymane w wierszu 7 przez 10 i zapiszmy je z dokładnością do jednej liczby po przecinku (1 mm na wykresie):

$D = 10 \cdot C$

Uwaga do kolumny K: dla $v = c$ mamy mnożenie przez nieskończoność, czyli nieskończoność.

Wówczas otrzymamy, że na naszym wykresie dla podanych szybkości energie kinetyczną możemy oznaczyć w takiej odległości pamiętając oczywiście o jednostce osi. Na wykresie jednostką na odciętych jest $c$ . Oznaczyć tą jednostkę co 1 cm, aby łatwiej było nam odczytać potrzebne dane z wykresu:

Nanieśmy punktu na wykres:

Dopasujmy krzywą:

Korzystając z wykresu odpowiadamy na pytanie postawione w zadaniu:

Proton porusza się z szybkością $v_{1} = 0, 8 c$ . Następnie jego energia kinetyczna wzrośnie dwa razy. Z wykresu odczytujemy, że dla $v_{1} = 0, 8 c$ mamy: