UWAGA! W treści zadania znajduje się błąd! Z rysunku wynika, że przy przejściu z ośrodka gęstszego optycznie do ośrodka rzadszego optycznie kąt padania jest większy od kąta załamania. Jest to błędne założenie, ponieważ przy przejściu z ośrodka gęstszego optycznie do ośrodka rzadszego optycznie kąt załamania jest większy od kąta padania!

 

---

---

Poniżesz rozwiązanie uwzględnia znajomość kąta załamania przy wyjściu światła z pryzmatu. Oznaczmy go $\delta$ . Wykonajmy poprawny rysunek do tego zadania i oznaczmy w nim poszczególne kąty i znane odległości:

Wiemy, że długość przyprostokątnej oraz współczynnik załamania dla szkła wynoszą:

$a=10\text{cm}$  

$n_s=1,5$  

Wiemy, że w trójkącie równoramiennym prostokątnym przeciwprostokątna wynosi $a\sqrt{2}$ .

Wówczas:

$y=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$  

$y=\frac{\sqrt{2}}{2}a$  

Korzystając z prawa Snella możemy zapisać, że:

$\frac{\sin \gamma }{\sin \delta }=\frac{1}{n_s}$  

Zatem sinus kąta padania na dłuższą przeciwprostokątną ma postać:

$\frac{\sin \gamma }{\sin \delta }=\frac{1}{n_s}\mid \cdot \sin \delta$  

$\sin \gamma =\frac{\sin \delta }{n_s}$  

Zauważmy również, że:

Wówczas z sumy katów wewnętrznych trójką otrzymamy, że miarę kąta $\beta$  możemy przedstawić wzorem:

${90}^{\circ }-\beta +\gamma +{45}^{\circ }={180}^{\circ }\mid +\beta$  

$\gamma +{135}^{\circ }={180}^{\circ }+\beta \mid -{180}^{\circ }$  

$\gamma -{45}^{\circ }=\beta$  

$\beta =\gamma -{45}^{\circ }$  

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać, że:

$\frac{x}{\sin \left({90}^{\circ }-\gamma \right)}=\frac{y}{\sin \left({90}^{\circ }+\beta \right)}$  

$\frac{x}{\sin \left({90}^{\circ }-\gamma \right)}=\frac{y}{\sin \left({90}^{\circ }+\gamma -{45}^{\circ }\right)}$  

$\frac{x}{\sin \left({90}^{\circ }-\gamma \right)}=\frac{y}{\sin \left({45}^{\circ }+\gamma \right)}$  

Korzystając z wzorów redukcyjnych możemy zapisać, że:

$\sin \left({90}^{\circ }-\gamma \right)=\cos \gamma$  

Natomiast z sinusa sumy kątów otrzymamy:

$\sin \left({45}^{\circ }+\gamma \right)=\sin {45}^{\circ }\cdot \cos \gamma +\sin \gamma \cdot \cos {45}^{\circ }$  

$\sin \left({45}^{\circ }+\gamma \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos \gamma +\sin \gamma \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\sin \left({45}^{\circ }+\gamma \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \gamma +\sin \gamma \right)$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:

${\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1\mid -{\sin }^2\gamma$  

${\cos }^2\gamma =1-{\sin }^2\gamma \mid \sqrt{}$  

$\cos \gamma =\sqrt{1-{\sin }^2\gamma }$  

$\cos \gamma =\sqrt{1-{\left(\frac{\sin \delta }{n_s}\right)}^2}$  

$\cos \gamma =\sqrt{1-\frac{{\sin }^2\delta }{n_s^2}}$  

Wracając do twierdzenia sinusów otrzymamy, że:

$\frac{x}{\sin \left({90}^{\circ }-\gamma \right)}=\frac{y}{\sin \left({45}^{\circ }+\gamma \right)}$  

$\frac{x}{\cos \gamma }=\frac{y}{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \gamma +\sin \gamma \right)}\mid \cdot \cos \gamma$  

$x=\frac{y\cos \gamma }{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \gamma +\sin \gamma \right)}$  

$x=\frac{y\cos \gamma }{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \gamma +\sin \gamma \right)}$  

$x=\frac{\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}a\cdot \sqrt{1-\frac{{\sin }^2\delta }{n_s^2}}}{\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(\sqrt{1-\frac{{\sin }^2\delta }{n_s^2}}+\frac{\sin \delta }{n_s}\right)}$  

$x=\frac{a\cdot \sqrt{1-\frac{{\sin }^2\delta }{n_s^2}}}{\sqrt{1-\frac{{\sin }^2\delta }{n_s^2}}+\frac{\sin \delta }{n_s}}$  

$x=\frac{a\cdot \sqrt{\frac{1}{n_s^2}\left(n_s^2-{\sin }^2\delta \right)}}{\sqrt{\frac{1}{n_s^2}\left(n_s^2-{\sin }^2\delta \right)}+\frac{\sin \delta }{n_s}}$  

$x=\frac{a\cdot \frac{1}{n_s}\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}{\frac{1}{n_s}\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }+\frac{1}{n_s}\sin \delta }$  

$x=\frac{a\cdot \sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }+\sin \delta }$  

$x=\frac{a}{\frac{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }+\sin \delta }{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}}$  

$x=\frac{a}{\frac{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}+\frac{\sin \delta }{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}}$  

$x=\frac{a}{1+\frac{\sin \delta }{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}}$  

$x=\frac{a}{1+\frac{1}{\frac{\sqrt{n_s^2-{\sin }^2\delta }}{\sin \delta }}}$  

$x=\frac{a}{1+\frac{1}{\sqrt{\frac{n_s^2-{\sin }^2\delta }{{\sin }^2\delta }}}}$  

$x=\frac{a}{1+\frac{1}{\sqrt{\frac{n_s^2}{{\sin }^2\delta }-\frac{{\sin }^2\delta }{{\sin }^2\delta }}}}$  

$x=\frac{a}{1+\frac{1}{\sqrt{\frac{n_s^2}{{\sin }^2\delta }-1}}}$