Narysuj wykres zależności drogi przebytej...- Zadanie 1.1.: Zdasz.to MATURA

Rozwiązanie

Przedstawiona na wykresie zależność wartości prędkości od czasu:

Dzielimy ruch pojazdu na poszczególne etapy (1,2,3).

Etap 1 - ruch jednostajnie opóźniony:

Drogę w ruchu jednostajnie zmienny wyrażamy jako:

$s_{1} (t) = 2 v_{0} t + \frac{1}{2} a_{1} t^{2}$

$2 v_{0} - szybko \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} pocz ą tkowa$

$a_{1} - przyspieszenie cia ł a$

$t - czas$

Wyznaczmy przyspieszenie ciała:

$a_{1} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v _{0} - 2 v _{0}}{t _{0} - 0} = - \frac{v _{0}}{t _{0}}$

Zatem:

$s_{1} (t) = 2 v_{0} t + \frac{1}{2} (- \frac{v _{0}}{t _{0}}) t^{2}$

$s_{1} (t) = 2 v_{0} t - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} t^{2}$

Wyznaczmy trzy punkty dla trzech chwil czasowych należące do wykresu zależności drogi od czasu (przyjmujemy jednostkę umowną $s_{0} = v_{0} t_{0}$ ):

$⋄ t_{a} = 0$

$s_{1} (t_{a}) = 2 v_{0} t_{a} - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} t_{a}^{2} = 2 v_{0} \cdot 0 - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} \cdot 0^{2} = 0$

$⋄ t_{b} = \frac{t _{0}}{2}$

$s_{1} (t_{b}) = 2 v_{0} t_{b} - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} t_{b}^{2} = 2 v_{0} \cdot \frac{t _{0}}{2} - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} \cdot (\frac{t _{0}}{2})^{2} = v_{0} t_{0} - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} \cdot \frac{t _{0}^{2}}{4} = v_{0} t_{0} - \frac{1}{8} v_{0} t_{0} = \frac{7}{8} v_{0} t_{0} = \frac{7}{8} s_{0}$

$⋄ t_{c} = t_{0}$

$s_{1} (t_{c}) = 2 v_{0} t_{c} - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} t_{c}^{2} = 2 v_{0} \cdot t_{0} - \frac{v _{0}}{2 t _{0}} \cdot (t_{0})^{2} = 2 v_{0} t_{0} - \frac{1}{2} v_{0} t_{0} = \frac{3}{2} v_{0} t_{0} = \frac{3}{2} s_{0}$

Szkicujemy wykres zależności drogi od czasu (fragment paraboli) przechodzący przez punkty:

$⋄ [0; 0]$

$⋄ [\frac{1}{2} t_{0}; \frac{7}{8} s_{0}]$

$⋄ [t_{0}; \frac{3}{2} s_{0}]$

Etap 2 - ruch jednostajny:

Drogę w ruchu jednostajnym wyrażamy jako:

$s_{2} = \frac{3}{2} s_{0} + v_{0} (t - t_{0})$

$\frac{3}{2} s_{0} - droga przebyta w poprzednim etapie ruchu$

$v_{0} - szybko \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} cia ł a$

$t_{0} - chwila czasowa, w kt \overset{o}{ˊ} rej rozpoczyna si ę ruch$

$t - czas$

Wyznaczmy dwa punkty dla dwóch chwil czasowych należące do wykresu zależności drogi od czasu (przyjmujemy jednostkę umowną $s_{0} = v_{0} t_{0}$ ):

$⋄ t_{a} = t_{0}$

$s_{2} (t_{a}) = \frac{3}{2} s_{0} + v_{0} (t_{a} - t_{0}) = \frac{3}{2} s_{0} + v_{0} (t_{0} - t_{0}) = \frac{3}{2} s_{0}$

$⋄ t_{b} = 2 t_{0}$

$s_{2} (t_{b}) = \frac{3}{2} s_{0} + v_{0} (t_{b} - t_{0}) = \frac{3}{2} s_{0} + v_{0} (2 t_{0} - t_{0}) = \frac{3}{2} s_{0} + v_{0} t_{0} = \frac{3}{2} s_{0} + s_{0} = \frac{5}{2} s_{0}$

Szkicujemy wykres zależności drogi od czasu (fragment prostej) przechodzący przez punkty:

$⋄ [t_{0}; \frac{3}{2} s_{0}]$

$⋄ [2 t_{0}; \frac{5}{2} s_{0}]$

Etap 3 - ruch jednostajnie przyspieszony:

Drogę w ruchu jednostajnie zmienny wyrażamy jako:

$s_{3} (t) = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} (t - 2 t_{0}) + \frac{1}{2} a_{3} (t - 2 t_{0})^{2}$

$\frac{5}{2} s_{0} - droga przebyta w poprzednich etapach ruchu$

$v_{0} - szybko \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} pocz ą tkowa$

$a_{3} - przyspieszenie cia ł a$

$t_{0} - chwila czasowa, w kt \overset{o}{ˊ} rej rozpoczyna si ę ruch$

$t - czas$

Wyznaczmy przyspieszenie ciała:

$a_{3} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{\frac{3}{2} v _{0} - v _{0}}{2 t _{0} - t _{0}} = \frac{\frac{1}{2} v _{0}}{t _{0}} = \frac{v _{0}}{2 t _{0}}$

Zatem:

$s_{3} (t) = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} (t - 2 t_{0}) + \frac{1}{2} (\frac{v _{0}}{2 t _{0}}) (t - 2 t_{0})^{2}$

$s_{3} (t) = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} (t - 2 t_{0}) + (\frac{v _{0}}{4 t _{0}}) (t - 2 t_{0})^{2}$

Wyznaczmy trzy punkty dla trzech chwil czasowych należące do wykresu zależności drogi od czasu (przyjmujemy jednostkę umowną $s_{0} = v_{0} t_{0}$ ):

$⋄ t_{a} = 2 t_{0}$

$s_{3} (t_{a}) = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} (t_{a} - 2 t_{0}) + (\frac{v _{0}}{4 t _{0}}) (t_{a} - 2 t_{0})^{2} = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} \cdot (2 t_{0} - 2 t_{0}) + (\frac{v _{0}}{4 t _{0}}) (2 t_{0} - 2 t_{0})^{2} = \frac{5}{2} s_{0}$

$⋄ t_{b} = \frac{5}{2} t_{0}$

$s_{3} (t_{b}) = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} (\frac{5}{2} t_{0} - 2 t_{0}) + (\frac{v _{0}}{4 t _{0}}) (\frac{5}{2} t_{0} - 2 t_{0})^{2} = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} \cdot \frac{1}{2} t_{0} + (\frac{v _{0}}{4 t _{0}}) (\frac{1}{2} t_{0})^{2} = \frac{5}{2} s_{0} + \frac{1}{2} v_{0} t_{0} + \frac{1}{16} v_{0} t_{0} = \frac{5}{2} s_{0} + \frac{1}{2} s_{0} + \frac{1}{16} s_{0} = 3 \frac{1}{16} s_{0}$

$⋄ t_{c} = 3 t_{0}$

$s_{3} (t_{c}) = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} (t_{c} - 2 t_{0}) + (\frac{v _{0}}{4 t _{0}}) (t_{c} - 2 t_{0})^{2} = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} (3 t_{0} - 2 t_{0}) + (\frac{v _{0}}{4 t _{0}}) (3 t_{0} - 2 t_{0})^{2} = \frac{5}{2} s_{0} + v_{0} t_{0} + \frac{1}{4} v_{0} t_{0} = \frac{5}{2} s_{0} + s_{0} + \frac{1}{4} s_{0} = \frac{10}{4} s_{0} + \frac{4}{4} s_{0} + \frac{1}{4} s_{0} = \frac{15}{4} s_{0} = 3 \frac{3}{4} s_{0}$