Dane:

$l=1\text{m}$   

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Szukane:

${\omega }_{\text{max}}=?$

Rozwiązanie:

Wahadło będzie poruszać się z maksymalną możliwą prędkością, jeśli początkowo wychylimy je o maksymalny kąt 90°. Prędkość maksymalna wahadła zostanie osiągnięta podczas przechodzenia przez położenie równowagi.

Energia mechaniczna $E_{\text{m}}$   wahadła przy jego odchyleniu o kąt 90° będzie równa maksymalnej energii potencjalnej $E_{\text{p}}$   wahadła.

$E_{\text{m}}=E_{\text{p}}=m\cdot g\cdot h$

$m-\text{masa wahadła}$

$g-\text{przyspieszenie ziemskie}$

$h-\text{wysokosˊcˊ na jakiej znalazła się kulka wahadła}$

 

Wysokość na jaką podnieśliśmy kulkę (względem jej położenia równowagi) była równa długości wahadła.

$h=l$

Stąd:     

$E_{\text{p}}=m\cdot g\cdot l$

 

Energia mechaniczna $E_{\text{m}}$   wahadła podczas przechodzenia przez położenie równowagi jest równa maksymalnej energii kinetycznej $E_{\text{k}}$   wahadła.

$E_{\text{m}}=E_{\text{k}}=\frac{m\cdot v_{\text{max}}^2}{2}$

$v_{\text{max}}-\text{maksymalna szybkosˊcˊ jaką osiąga wahadło}$

 

Korzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej:

$E_{\text{p}}=E_{\text{k}}$

$m\cdot g\cdot l=\frac{m\cdot v_{\text{max}}^2}{2}$     

$g\cdot l=\frac{v_{\text{max}}^2}{2}$     

Wyznaczmy maksymalną szybkość wahadła:

$v_{\text{max}}^2=2gl$

$v_{\text{max}}=\sqrt{2gl}$  

Szybkość liniowa $v$   i kątowa $\omega$   są ze sobą powiązane poniższą zależnością:

$v=\omega \cdot l$

Stąd:

$\omega =\frac{v}{l}$

 

Zatem:

$\omega =\frac{v_{\text{max}}}{l}$   

$\omega =\frac{\sqrt{2gl}}{l}$  

$\omega =\sqrt{\frac{2gl}{l^2}}$  

$\omega =\sqrt{\frac{2g}{l}}$  

$\omega =\sqrt{\frac{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{1\text{m}}}\approx 4,4\frac{1}{\text{s}}$