Dane:

$r_1=5,2\text{au}=5,2\cdot 150\cdot {10}^6\text{km}=780\cdot {10}^6\text{km}=780\cdot {10}^9\text{m}=7,8\cdot {10}^{11}\text{m}$  

$r_2=32,9\text{au}=32,9\cdot 150\cdot {10}^6\text{km}=4935\cdot {10}^6\text{km}=4935\cdot {10}^9\text{m}=49,35\cdot {10}^{11}\text{m}$  

$v_1=19,2\frac{\text{km}}{\text{s}}=19,2\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=1,92\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$M=1,99\cdot {10}^{30}\text{kg}$  

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}$  

Szukane:

$v_2=?$

Rozwiązanie:

Energię kinetyczną $E_k$   wyrażamy jako:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

$m-\text{masa ciała}$

$v-\text{prędkosˊcˊ ciała}$   

 

Energię potencjalną grawitacji wyrażamy jako:

$E_p=-\frac{GMm}{r}$  

$G-\text{stała grawitacji}$  

$M-\text{masa ciała będącego zˊroˊdłem pola grawitacyjnego}$  

$m-\text{masa ciała znajdującego się w zewnętrznym polu grawitacyjnym}$  

$r-\text{odległosˊcˊ między ciałami}$  

 

Sumę energii kinetycznej i potencjalnej sondy w pobliżu Słońca wyrazimy jako:

$E_1=E_{k1}+E_{p1}$

$E_1=\frac{m{v}_1^2}{2}-\frac{GMm}{r_1}$  

 

Sumę energii kinetycznej i potencjalnej sondy w pobliżu Plutona wyrazimy jako:

$E_2=E_{k2}+E_{p2}$

$E_2=\frac{m{v}_2^2}{2}-\frac{GMm}{r_2}$  

 

Korzystając z zasady zachowania energii zapisujemy:

$E_1=E_2$

$\frac{m{v}_1^2}{2}-\frac{GMm}{r_1}=\frac{m{v}_2^2}{2}-\frac{GMm}{r_2}$    

$\frac{v_1^2}{2}-\frac{GM}{r_1}=\frac{v_2^2}{2}-\frac{GM}{r_2}$    

$v_1^2-\frac{2GM}{r_1}=v_2^2-\frac{2GM}{r_2}$    

Wyznaczmy szukaną wartość prędkości sondy:

$v_2^2=v_1^2+\frac{2GM}{r_2}-\frac{2GM}{r_1}$  

$v_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2GM}{r_2}-\frac{2GM}{r_1}}$  

$v_2=\sqrt{v_1^2+2GM\cdot \left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)}$  

$v_2=\sqrt{{\left(1,92\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2+2\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 1,99\cdot {10}^{30}\text{kg}\cdot \left(\frac{1}{49,35\cdot {10}^{11}\text{m}}-\frac{1}{7,8\cdot {10}^{11}\text{m}}\right)}=\sqrt{3,6864\cdot {10}^8\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}+26,5466\cdot {10}^{19}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot \left(-0,10795\cdot {10}^{-11}\frac{1}{\text{m}}\right)}=\sqrt{3,6864\cdot {10}^8\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-2,8657\cdot {10}^8\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=\sqrt{0,8207\cdot {10}^8\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 0,91\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=9,1\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=9,1\frac{\text{km}}{\text{s}}$