Na rysunku przedstawiono obwód elektryczny...- Zadanie 13.8.6.: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Zauważmy, że na rysunku mamy dwa oczka. Jedno z opornikami R₁ i R₃, a drugie z opornikami R₂ i R₄. Drugie prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma algebraiczna wszystkich sił elektromotorycznych i napięć w oczku sieci jest równa zero. Możemy je zapisać wzorem:

$k = 1 \sum n E_{k} - k = 1 \sum m I_{k} \cdot R_{k} = 0$

gdzie ε_k jest siłą elektromotoryczną, R_k jest jest oporem zewnętrznym, I_k jest natężeniem prądu dla opornika R_k. Zapiszmy prawa Kirchhoffa dla obu oczek i wyznaczmy z nich natężenia prądów. Dla pierwszego oczka:

$E - I_{1} R_{1} - I_{3} R_{3} = 0$

Zauważmy, że:

$I_{1} = I_{3}$

Z tego wynika, że:

$E - I_{1} (R_{1} + R_{3}) = 0 ∣ + I_{1} (R_{1} + R_{3})$

$E = I_{1} (R_{1} + R_{3}) ∣ : (R_{1} + R_{3})$

$\frac{E}{R _{1} + R _{3}} = I_{1}$

$I_{1} = \frac{E}{R _{1} + R _{3}}$

Dla drugiego oczka otrzymujemy:

$E - I_{2} R_{2} - I_{4} R_{4} = 0$

Ponieważ:

$I_{2} = I_{4}$

To:

$E - I_{2} (R_{2} + R_{4}) = 0 ∣ + I_{2} (R_{2} + R_{4})$

$E = I_{2} (R_{2} + R_{4}) ∣ : (R_{2} + R_{4})$

$\frac{E}{R _{2} + R _{4}} = I_{2}$

$I_{2} = \frac{E}{R _{2} + R _{4}}$

Prądy pochodzący z poszczególnych źródeł zasilania, przez galwanometr, będą płynęły w przeciwne strony. Nie chcemy, żeby prąd płynął przez galwanometr. Oznacza to, że:

$I_{1} - I_{2} = 0 ∣ + I_{2}$

$I_{1} = I_{2}$

$\frac{E}{R _{1} + R _{3}} = \frac{E}{R _{2} + R _{4}} ∣ : E$

$\frac{1}{R _{1} + R _{3}} = \frac{1}{R _{2} + R _{4}}$

$R_{1} + R_{3} = R_{2} + R_{4}$

Wiemy, że:

$R_{2} - R_{1} = 6 Ω$

Czyli:

$R_{1} + R_{3} = R_{2} + R_{4} ∣ - R_{1}$

$R_{3} = R_{2} - R_{1} + R_{4}$

$R_{3} = 6 Ω + R_{4}$

Wiemy, że opornik R₃ może przyjmować wartości 5 Ω, 6 Ω lub 7 Ω.

Z tego wynika, że aby przez galwanometr nie popłynął prąd opornik R₃ może przyjąć wartości 6 Ω lub 7 Ω. Nie może przyjąć wartości 5 Ω, ponieważ wówczas opór opornika R₄ byłby ujemny.