Dane:

$R_1=R=10\Omega$

$U_1=20\text{V}$

$R_2=3R$

$U_2=22,5\text{V}$

Szukane:

$\mathcal{E}=?$

$r=?$

Rozwiązanie:

Woltomierz mierzy spadek napięcia $U_x$   na oporniku.

Siła elektromotoryczna baterii $\mathcal{E}$   jest równa spadkowi napięcia $U_r$   na oporze wewnętrznym i spadkowi napięcia $U_x$   na dołączonym w obwodzie oporniku.

$\mathcal{E}=U_r+U_x$  

 

Spadek napięcia na oporze wewnętrznym wyrazimy jako:

$U_r=I_{x}r$  

$I_x-\text{natęz˙enie prądu w obwodzie}$

$r-\text{opoˊr wewnętrzny baterii}$   

 

Spadek napięcia na oporze podłączonego opornika wyrazimy jako:

$U_x=I_x{R}_x$

$R_x-\text{opoˊr opornika}$   

 

Zatem:

$\mathcal{E}=I_{x}r+I_x{R}_x$  

 

Dla pierwszego i drugiego opornika otrzymujemy następujące równania:

$\mathcal{E}=I_{1}r+I_1{R}_1$  

$\mathcal{E}=I_{2}r+I_2{R}_2$  

 

$\mathcal{E}=I_{1}r+I_{1}R$  

$\mathcal{E}=I_{2}r+3I_{2}R$  

 

Dodatkowo możemy zapisać:

$U_1=R_1{I}_1=R{I}_1\Rightarrow I_1=\frac{U_1}{R}$  

$U_2=R_2{I}_2=3R{I}_2\Rightarrow I_2=\frac{U_2}{3R}$  

 

Zatem:

$\mathcal{E}=\frac{U_1}{R}\cdot r+\frac{U_1}{R}\cdot R$  

$\mathcal{E}=\frac{U_2}{3R}\cdot r+3\cdot \frac{U_2}{3R}\cdot R$  

 

$\mathcal{E}=U_1\frac{r}{R}+U_1$  

$\mathcal{E}=U_2\frac{r}{3R}+U_2$  

 

Otrzymujemy:

$U_1\frac{r}{R}+U_1=U_2\frac{r}{3R}+U_2$  

$3U_{1}r+3U_{1}R=U_{2}r+3U_{2}R$  

$3U_{1}r-U_{2}r=3U_{2}R-3U_{1}R$  

$r\left(3U_1-U_2\right)=3R\left(U_2-U_1\right)$  

$r=\frac{3R\left(U_2-U_1\right)}{3U_1-U_2}$

$r=\frac{3\cdot 10\Omega \cdot \left(22,5\text{V}-20\text{V}\right)}{3\cdot 20\text{V}-22,5\text{V}}=\frac{75\Omega V}{37,5\text{V}}=2\Omega$  

 

SEM baterii będzie równa:

$\mathcal{E}=U_1\frac{r}{R}+U_1$  

$\mathcal{E}=20\text{V}\cdot \frac{2\Omega }{10\Omega }+20\text{V}=4\text{V}+20\text{V}=24\text{V}$