Na rysunku przedstawiono schematycznie...- Zadanie 12.6.10.: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:
$v = 18 \frac{m}{s}$

$m = 10^{- 10} kg$

$q = - 1, 6 \cdot 10^{- 13} C = 1, 6 \cdot 10^{- 13} C$

$l = 1, 5 cm = 0, 015 m$

$x = 8 mm = 0, 008 m$

$H = 3, 175 mm = 3, 175 \cdot 10^{- 3} m$

Szukane:

$E = ?$

Rozwiązanie:

Ruch cząsteczki możemy rozłożyć na ruch w kierunku pionowym i poziomym. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy $y$

Pomijamy wpływ grawitacji na ruch kropelki. Rozważamy osobno ruch w pionie i w poziomie. Na cząstkę działa tylko siła elektrostatyczna w polu elektrostatycznym $E$ . Przyspieszenie cząstki w polu elektrostatycznym przedstawiamy wzorem:

$a = \frac{E q}{m}$

gdzie $a$ jest przyspieszeniem, $E$ jest natężeniem pola, $q$ jest wartością ładunku poruszającego się tym polu, $m$ jest masą tego ładunku. Z tego wynika, że cząstka ma składową pionową przyspieszenia równą:

$a_{y} = \frac{E q}{m}$

W poziomie cząstka porusza się ruchem jednostajnym, dlatego:

$a_{x} = 0$

Wiemy, że początkowa pozioma prędkość cząstki wynosi $v$ oraz cząstka pokonuje z tą prędkością drogę $l$ , czyli:

$l = v \cdot t ∣ : v$

$t = \frac{l}{v}$

Korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym wyznaczmy pionową wysokość, na jaką wzniosła się kropelka w chwili wychodzenia z pomiędzy okładek. Drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s = v_{p} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie $s$ jest drogą jaką przebyło ciało, $v_{p}$ jest prędkością początkową z jaką poruszało się to ciało, $a$ jest przyspieszeniem z jakim poruszało się ciało, $t$ jest czasem ruchu tego ciała. Początkowa pionowa prędkość kropelki jest zerowa:

$v_{p [y]} = 0$

Dlatego:

$y = 0 \cdot t + \frac{1}{2} a_{y} t$

$y = \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$

gdzie $t$ jest czasem ruchu pionowego cząsteczki, tym samym, co cząstka porusza się poziomo.

$y = \frac{1}{2} \frac{E q}{m} (\frac{l}{v})^{2}$

$y = \frac{1}{2} \frac{E q}{m} \frac{l ^{2}}{v ^{2}}$

$y = \frac{E q l ^{2}}{2 m v ^{2}}$

Wyznaczamy $v_{y}$

Cząstka wychodzą z pola elektrostatycznego uzyskała pewną prędkość pionową $v_{y}$ . Prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v_{k} = v_{p} + a t$

gdzie $v_{k}$ jest prędkością końcową ciała, $v_{p}$ jest prędkością początkową ciała, $a$ jest przyspieszeniem z jakim poruszało się to ciało, $t$ jest czasem ruchu ciała. Z tego wynika, że prędkość cząsteczki wychodzącej z pola elektrostatycznego w kierunku poziomym ma wartość:

$v_{y} = v_{p [y]} + a_{y} t$

$v_{y} = 0 + \frac{E q}{m} \cdot \frac{l}{v}$

$v_{y} = \frac{E q l}{m v}$

Prędkość $v_{x}$

W pionie cząsteczka nadal ma prędkość stałą wynoszącą $v$ :

$v_{x} = v$

Natężenie pola $E$

Korzystając funkcji trygonometrycznych możemy zauważyć, że:

$t g α = \frac{v _{y}}{v _{x}} oraz t g α = \frac{H - y}{x}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$\frac{v _{y}}{v _{x}} = \frac{H - y}{x}$

$\frac{\frac{E q l}{m v}}{v} = \frac{H - \frac{E q l ^{2}}{2 m v ^{2}}}{x} ∣ \cdot v x$

$\frac{E q l}{m v} \cdot x = (H - \frac{E q l ^{2}}{2 m v ^{2}}) \cdot v$

$\frac{E q l x}{m v} = H v - \frac{E q l ^{2}}{2 m v} ∣ + \frac{E q l ^{2}}{2 m v}$

$\frac{E q l ^{2}}{2 m v} + \frac{E q l x}{m v} = H v$

$\frac{E q l ^{2}}{2 m v} + \frac{2 E q l x}{2 m v} = H v$

$\frac{E q l ^{2} + 2 E q l x}{2 m v} = H v ∣ \cdot 2 m v$

$E q l (l + 2 x) = 2 H m v^{2} ∣ : q l (l + 2 x)$

$E = \frac{2 H m v ^{2}}{q l ( l + 2 x )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E = \frac{2 \cdot 3 , 175 \cdot 10 ^{- 3} m \cdot 10 ^{- 10} kg \cdot ( 18 \frac{m}{s} ) ^{2}}{1 , 6 \cdot 10 ^{- 13} C \cdot 0 , 015 m \cdot ( 0 , 015 m + 2 \cdot 0 , 008 m )} = \frac{6 , 35 \cdot 10 ^{- 13} kg \cdot m \cdot 324 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{1 , 6 \cdot 10 ^{- 13} C \cdot 0 , 015 m \cdot ( 0 , 015 m + 0 , 016 m )} =$

$= \frac{2057 , 4 \cdot 10 ^{- 13} kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot m}{1 , 6 \cdot 10 ^{- 13} C \cdot 0 , 015 m \cdot 0 , 031 m} = \frac{2057 , 4 J}{0 , 000744 C \cdot m} \approx 2765 322, 581 \frac{\frac{J}{C}}{m} \approx$