$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest określenie, w których ćwiartkach układu współrzędnych znajdują się punkty o zerowej wartości wektora indukcji wypadkowego pola magnetycznego. 

Korzystamy z reguły prawej ręki, aby określić zwroty wektorów indukcji pochodzących od poszczególnych przewodników:

Z rysunku możemy wywnioskować, że wektory indukcji magnetycznej pochodzące od poszczególnych przewodników mają przeciwne zwroty tylko w ćwiartce pierwszej i trzeciej. Oznacza to, że tylko w tych ćwiartkach mogą znajdować się punkty o zerowej wartości wektora indukcji. 

 Odpowiedź: 

W pierwszej i trzeciej ćwiartce.

$\mathbf{b})$  

Naszym zadaniem jest napisanie równania prostej, która zawiera punkty, w których wypadkowa wartość indukcji pola jest zerowa. 

W zadaniu podane mamy, że:

$I_2=2I_1$  

gdzie:

$I_1$ - natężenie prądu płynącego w pierwszym przewodniku, 

$I_2$ - natężenie prądu płynącego w drugim przewodniku. 

Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi prostoliniowy przewodnik w pewnej odległości od tego przewodnika przedstawiamy wzorem:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

gdzie:

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez prostoliniowy przewodnik,

${\mu }_0$ - przenikalność magnetyczna próżni,

$I$ - natężenie prądu płynącego przez przewodnik,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy indukcję pola magnetycznego od osi przewodnika.

Zauważmy, że drugi przewodnik znajduje się na osi $y$  układu współrzędnych, natomiast pierwszy przewodnik znajduje się na osi $x$  układu współrzędnych.

Rozważamy tylko pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych, ponieważ tam wypadkowa indukcja pola może przyjmować zerowe wartości. 

Punkty te mogą być odległe od pierwszego przewodnika o pewną odległość $y$ - wzdłuż prostej pionowej. Natomiast od drugiego przewodnika te punkty mogą być odległe o pewną odległość $x$ - wzdłuż prostej poziomej. 

Jeżeli rozważamy pierwszą ćwiartkę to wartość indukcji magnetycznej dla pierwszego przewodnika możemy w niej przedstawić wzorem:

$B_{1.1}=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi y}$

Podobnie dla trzeciej ćwiartki otrzymamy:

$B_{1.3}=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi \left(-y\right)}$

$B_{1.3}=-\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi y}$

Znak minus wynika z faktu, że trzecia ćwiartka znajduje się w obszarze wartości ujemnych dla osi $y$.

Wartość indukcji magnetycznej dla drugiego przewodnika w pierwszej ćwiartce możemy przedstawić wzorem:

$B_{2.1}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi x}$

$B_{2.1}=\frac{{\mu }_0\cdot 2I_1}{2\pi x}$

$B_{2.1}=\frac{{\mu }_0{I}_1}{\pi x}$

 Wartość indukcji magnetycznej dla drugiego przewodnika w trzeciej ćwiartce możemy przedstawić wzorem:

$B_{2.3}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi \left(-x\right)}$

$B_{2.3}=-\frac{{\mu }_0\cdot 2I_1}{2\pi x}$

$B_{2.3}=-\frac{{\mu }_0{I}_1}{\pi x}$

Prosta zawierająca takie punkty, w których wypadkowa wartość indukcji jest zerowa spełnia w pierwszej ćwiartce zależność:

$B_{1.1}=B_{2.1}$

Podobnie w trzeciej ćwiartce mamy:

$B_{1.3}=B_{2.3}$

Wyznaczmy równanie prostej korzystając z zależności dla pierwszej ćwiartki:

$B_{1.1}=B_{2.1}$

$\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi y}=\frac{{\mu }_0{I}_1}{\pi x}|\cdot \frac{\pi }{{\mu }_0{I}_1}$

$\frac{1}{2y}=\frac{1}{x}$

$2y=x|:2$

$y=\frac{1}{2}x$ 

 Podobnie dla trzeciej ćwiartki otrzymamy:

$B_{1.3}=B_{2.3}$

$-\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi y}=-\frac{{\mu }_0{I}_1}{\pi x}|\cdot \left(-\frac{\pi }{{\mu }_0{I}_1}\right)$

$\frac{1}{2y}=\frac{1}{x}$

$2y=x|:2$

$y=\frac{1}{2}x$

 Otrzymaliśmy takie samo równanie dla obu ćwiartek - zatem mogliśmy rozważyć jeden przypadek:

$\mathbf{c})$  

▶ Rozważamy przypadek 1: kierunek prądu zmienia się na przeciwny w przewodzie 1.

Otrzymujemy wówczas, że:

Zauważmy, że w tym przypadku będzie to druga i czwarta ćwiartka układu współrzędnych dla obu przypadków. Natężenie prądu w żadnym z przewodników nie ulega zmianie, czyli możemy rozważyć od razu przypadek 1. i 2. Możemy zatem zapisać, że indukcja magnetyczna pochodząca od pierwszego przewodnika będzie miała postać:

$B_{1.2}=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi \cdot \left(-y\right)}$ lub $B_{1.4}=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi y}$  

Natomiast indukcja magnetyczna pochodząca od drugiego przewodnika będzie miała postać:

$B_{2.2}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi x}\frac{}{}$ lub $B_{2.4}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi \cdot \left(-x\right)}$   

 Prosta zawierająca takie punkty, że wartość wektora indukcji jest zerowa dla drugiej ćwiartki będzie miała wówczas postać:

$B_{1.2}=B_{2.2}$

$\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi \cdot \left(-y\right)}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi x}|\cdot \frac{2\pi }{{\mu }_0}$

$\frac{I_1}{-y}=\frac{2I_1}{x}|:I_1$

$-\frac{1}{y}=\frac{2}{x}$

$-y=\frac{x}{2}|\cdot \left(-1\right)$

$y=-\frac{1}{2}x$

Analogicznie otrzymamy dla czwartej ćwiartki:

$B_{1.4}=B_{2.4}$

$\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi y}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi \cdot \left(-x\right)}|\cdot \frac{2\pi }{{\mu }_0}$

$\frac{I_1}{y}=\frac{2I_1}{-x}|:I_1$

$\frac{1}{y}=-\frac{2}{x}$

$y=-\frac{1}{2}x$

▶ Rozważamy przypadek 2: kierunek prądu zmienia się na przeciwny w przewodzie 2.

Otrzymujemy wówczas, że:

Zauważmy, że w tym przypadku również będzie to druga i czwarta ćwiartka układu współrzędnych dla obu przypadków.

Oznacza to, że w tym wypadku również mamy:

$y=-\frac{1}{2}x$