Dane:

$R_1=0,3\text{k}\Omega =300\Omega$  

$R_2=1,2\text{k}\Omega =1200\Omega$  

$R_3=0,4\text{k}\Omega =400\Omega$  

$U=15\text{V}$    

 

$\mathbf{a})$    

Naszym zadaniem jest narysowanie schematów obwodów zawierających tylko oporniki, które będą równoważne obwodom opisanym w przypadkach $\text{I}$ i $\text{II}$. 

▶ Przypadek $\text{I}$

Wiemy, że do punktu A na schemacie dołączono dodatni biegun źródła. Wiedząc, że umowny kierunek przepływu prądu mamy od plusa do minusa przeanalizujmy przepływ prądu w tym obwodzie: 

Jeżeli pominiemy diody to otrzymamy obwód:

Wówczas obwód równoważny ma postać:

Odpowiedź: Oporniki połączone są ze sobą równolegle.

▶ Przypadek $\text{II}$

Wiemy, że do punktu A na schemacie dołączono dodatni ujemny źródła. Wówczas przepływ prądu w obwodzie ma postać:

Jeżeli pominiemy diody to otrzymamy obwód:

Wówczas obwód równoważny ma postać:

Odpowiedź: Oporniki połączone są ze sobą szeregowo. 

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$I_{\text{I.1}}=?$

$I_{\text{I.2}}=?$

$I_{\text{I.3}}=?$

$I_{\text{II.1}}=?$

$I_{\text{II.2}}=?$

$I_{\text{II.3}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie natężeń prądów płynących w każdym oporniku. Rozważmy poszczególne przypadki:

▶ Przypadek $\text{I}$

Oporniki połączone są równolegle. W opornikach połączonych równolegle napięcie na każdym przewodniku jest takie samo. Zauważmy, że:

gdzie:

$U$ - napięcie na układzie, 

$R_1$ - opór pierwszego opornika, 

$R_2$ - opór drugiego opornika, 

$R_3$ - opór trzeciego opornika, 

$I_{\text{I.1}}$ - natężenie prądu płynącego przez pierwszy opornik, 

$I_{\text{I.2}}$ - natężenie prądu płynącego przez drugi opornik, 

$I_{\text{I.3}}$ - natężenie prądu płynącego przez trzeci opornik.

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas natężenie prądu płynącego w przewodniku (lub urządzeniu) możemy przedstawić wzorem:

$I=\frac{U}{R}$ 

gdzie:

$I$ - natężenie prądy płynącego w obwodzie, 

$U$ - napięcie do jakiego podłączono urządzenie lub przewód, 

$R$ - opór elektryczny. 

Z tego wynika, że natężenie prądu na każdym oporniku będzie miało postać:

$I_{\text{I.1}}=\frac{U}{R_1}$

$I_{\text{I.2}}=\frac{U}{R_2}$

$I_{\text{I.3}}=\frac{U}{R_3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

$I_{\text{I.1}}=\frac{15\text{V}}{300\Omega }=0,05\frac{\text{V}}{\Omega }=$

$=50\cdot 10^{-3}\text{A}=50\text{mA}$

$I_{\text{I.2}}=\frac{15\text{V}}{1200\Omega }=0,0125\frac{\text{V}}{\Omega }=$

$=12,5\cdot 10^{-3}\text{A}=12,5\text{mA}$

$I_{\text{I.3}}=\frac{15\text{V}}{400\Omega }=0,0375\frac{\text{V}}{\Omega }=$

$=37,5\cdot 10^{-3}\text{A}=37,5\text{mA}$

▶ Przypadek $\text{II}$

Oporniki połączone są szeregowo. Natężenie prądu w każdym oporniku jest takie samo jak w całym obwodzie, ponieważ nie mamy węzłów, w których prąd mógłby się rozdzielać. Zatem mamy:

gdzie: 

$I=I_{\text{II.1}}=I_{\text{II.2}}=I_{\text{II.3}}$ - natężenie prądu płynącego w odwodzie.

Musimy w tym przypadku wyznaczyć opór zastępczy obwodu. Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$R_z=\sum _{i=1}^n{R}_i$

gdzie:

$R_z$ - opór zastępczy układu,

$R_i$ - opór składowego (i-tego) opornika w układzie,

$i$ - indeks (wskaźnik) numerujący kolejne oporniki w układzie,

$n$ - liczba oporników w układzie.

Zatem dla naszego przypadku mamy:

$R_z=R_1+R_2+R_3$

Wówczas natężenie prądu płynącego w obwodzie w tym przypadku ma postać:

$I=\frac{U}{R_z}$

$I=\frac{U}{R_1+R_2+R_3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=\frac{15\text{V}}{300\Omega +1200\Omega +400\Omega }=\frac{15\text{V}}{1900\Omega }=$

$=\frac{3}{380}\frac{\text{V}}{\Omega }\approx 0,0079\text{A}=7,9\text{mA}$

Odpowiedź: W pierwszym przypadku I natężenia prądów płynących przez poszczególne oporniki wynoszą kolejno 50 mA, 12,5 mA i 37,5 mA. W drugim przypadku natężenie prądu płynącego przez układ jest takie samo jak na każdym oporniku i wynosi około 7,9 mA.

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$P_{\text{I}}=?$

$P_{\text{II}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie mocy każdego z powstałych obwodów. Moc prądu elektrycznego (urządzenia elektrycznego) obliczamy korzystając ze wzoru:

$P=UI$

gdzie:

$P$ - moc prądu elektrycznego,

$U$ - napięcie elektryczne,

$I$ - natężenie prądu elektrycznego.

▶ Przypadek $\text{I}$

Wyznaczmy natężenie prądu w całym układzie. Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Z tego wynika, że:

$I_{\text{I}}=I_{\text{I.1}}+I_{\text{I.2}}+I_{\text{I.3}}$

Wówczas otrzymujemy, że moc obwodu ma postać:

$P_{\text{I}}=I_{\text{I}}U$

$P_{\text{I}}=\left(I_{\text{I.1}}+I_{\text{I.2}}+I_{\text{I.3}}\right)U$

$P_{\text{I}}=\left(\frac{U}{R_1}+\frac{U}{R_2}+\frac{U}{R_3}\right)U$

$P_{\text{I}}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)U^2$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_{\text{I}}=\left(\frac{1}{300\Omega }+\frac{1}{1200\Omega }+\frac{1}{400\Omega }\right)\cdot {\left(15\text{V}\right)}^2=$

$=\left(\frac{4}{1200\Omega }+\frac{1}{1200\Omega }+\frac{3}{1200\Omega }\right)\cdot 225{\text{V}}^2=$

$=\frac{8}{1200\Omega }\cdot 225{\text{V}}^2=\frac{1800\text{V}\cdot \text{V}}{1200\Omega }=$

$=1,5\text{A}\cdot \text{V}=1,5\text{W}$

▶ Przypadek $\text{II}$

W tym przypadku wiemy, że natężenie płynące przez każdy opornik jest takie samo. Zatem moc ma postać:

$P_{\text{II}}=IU$

$P_{\text{II}}=\frac{U}{R_1+R_2+R_3}\cdot U$

$P_{\text{II}}=\frac{U^2}{R_1+R_2+R_3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_{\text{II}}=\frac{{\left(15\text{V}\right)}^2}{300\Omega +1200\Omega +400\Omega }=$

$=\frac{225{\text{V}}^2}{1900\Omega }\approx 0,118\frac{{\text{V}}^2}{\Omega }=$

$=0,118\frac{\text{V}\cdot \text{V}}{\Omega }=0,118\text{A}\cdot \text{V}\approx 0,12\text{W}$

Odpowiedź: W pierwszym przypadku moc całkowita obwodu wynosi 1,5 W. W drugim przypadku całkowita moc obwodu wynosi około 0,12 W.