Dwa jednakowe ogniwa o...- Zadanie 9.7: Fizyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

Uzasadnienie:

Wszystkie żarówki są identyczne więc, każda ma taki sam opór. Wiemy, że moc żarówki jest wprost proporcjonalna do natężenia i oporu. Rozważmy natężenie prądu płynącego w obwodzie po zamknięciu wyłącznika. Zauważmy, że:

Wiemy, że:

$R_{1} = R_{2} = R_{3} = R$

gdzie:

$R_{1}$ - opór pierwszej żarówki,

$R_{2}$ - opór drugiej żarówki,

$R_{3}$ - opór trzeciej żarówki.

Rozważamy poszczególne oczka obwodu.

▶ Oczko, w którym znajdują się żarówki 1 i 2 (niebieskie).

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa otrzymamy równanie:

$0 = E + E - I_{1} R_{1} - I_{2} R_{2}$

gdzie:

$E$ - SEM ogniwa,

$I_{1}$ - natężenie prądu płynącego przez pierwszą żarówkę,

$I_{2}$ - natężenie prądu płynącego przez drugą żarówkę.

Zatem suma natężeń prądów płynących przez żarówki 1 i 2 ma postać:

$0 = E + E - I_{1} R_{1} - I_{2} R_{2}$

$0 = 2 E - I_{1} R - I_{2} R$

$0 = 2 E - (I_{1} + I_{2}) R ∣ + (I_{1} + I_{2}) R$

$(I_{1} + I_{2}) R = 2 E ∣ : R$

$I_{1} + I_{2} = \frac{2 E}{R}$

▶ Oczko, w którym znajdują się żarówki 1 i 3 (pomarańczowe).

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa dla tego oczka otrzymamy:

$0 = E - I_{1} R_{1} - I_{3} R_{3}$

gdzie:

$I_{3}$ - natężenie prądu płynącego przez trzecią żarówkę.

Otrzymamy zatem, że natężenie prądu płynącego przez pierwszą żarówkę ma postać:

$0 = E - I_{1} R_{1} - I_{3} R_{3}$

$0 = E - I_{1} R - I_{3} R ∣ + I_{1} R$

$I_{1} R = E - I_{3} R ∣ : R$

$I_{1} = \frac{E}{R} - I_{3}$

▶ Oczko, w którym znajdują się żarówki 2 i 3 (zielone).

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa dla tego oczka otrzymamy:

$0 = E - I_{2} R_{2} - I_{3} R_{3}$

Otrzymamy zatem, że natężenie prądu płynącego przez drugą żarówkę ma postać:

$0 = E - I_{2} R_{2} - I_{3} R_{3}$

$0 = E - I_{2} R - I_{3} R ∣ + I_{2} R$

$I_{2} R = E - I_{3} R ∣ : R$

$I_{2} = \frac{E}{R} - I_{3}$

Podstawiając natężenia prądów płynących przez żarówki 1 i 2 do równania wynikającego z II prawa Kirchhoffa dla oczka niebieskiego otrzymamy:

$I_{1} + I_{2} = \frac{2 E}{R}$

$\frac{E}{R} - I_{3} + \frac{E}{R} - I_{3} = \frac{2 E}{R}$

$\frac{2 E}{R} - 2 I_{3} = \frac{2 E}{R}$

$- 2 I_{3} = 0 ∣ : (- 2)$

$I_{3} = 0$

Odpowiedź:

Oznacza to, że przez żarówkę 3 nie popłynie prąd. Zamknięcie wyłącznika nie zmieni zatem natężenia przepływającego przez żarówki 1 i 2. Z tego wynika, że moc pozostanie taka sama i jasność świecenia żarówki nie zmieni się.

$b)$

Uzasadnienie:

Bieguny ogniw odwrócono.

▶ Rozważamy układ z otwartym wyłącznikiem. Zauważmy, że:

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa otrzymamy:

$E - E - I R_{1} + I R_{2} = 0$

$E - E - I R + I R = 0$

$0 = 0$

Oznacza to, że przez otwarty odwód prąd nie płynie i żarówki nie świecą się.

▶ Rozważamy układ z zamkniętym wyłącznikiem. Zauważmy, że:

Rozważamy oczko z żarówkami 1 i 2. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa otrzymujemy, że natężenia płynące przez te żarówki spełniają zależność:

$E - I_{1} R_{1} + I_{2} R_{2} - E = 0$

$- I_{1} R + I_{2} R = 0 ∣ + I_{1} R$

$I_{2} R = I_{1} R ∣ : R$

$I_{2} = I_{1}$

Z rysunku możemy zauważyć, że zgodnie z I prawem Kirchhoffa spełniona jest zależność:

$I_{3} = I_{1} + I_{2}$

$I_{3} = I_{1} + I_{1}$

$I_{3} = 2 I_{1}$

Wówczas prawdą jest również, że:

$I_{3} = 2 I_{2}$

Ogólnie jasność żarówki możemy ocenić na podstawie mocy jaka zostanie przez nią wygenerowana. Moc prądu elektrycznego (urządzenia elektrycznego) obliczamy korzystając ze wzoru:

$P = U I$

gdzie:

$P$ - moc prądu elektrycznego,

$U$ - napięcie elektryczne,

$I$ - natężenie prądu elektrycznego.

Korzystając z prawa Ohma, czyli $U = I R$ możemy zapisać wzór na moc w postaci:

$P = I^{2} R$

Zatem moc żarówki pierwszej opisuje wzór:

$P_{1} = I_{1}^{2} R_{1}$

Natomiast moc żarówki drugiej opisuje wzór:

$P_{2} = I_{2}^{2} R_{2}$

Wiemy jednak, że prąd płynący przez żarówkę drugą jest taki sam jak przez żarówkę pierwszą ( $I_{2} = I_{1}$ ), zatem:

$P_{2} = I_{1}^{2} R_{2}$

Wzór na moc żarówki trzeciej przyjmuję postać:

$P_{3} = I_{3}^{2} R_{3}$

$P_{3} = (2 I_{1})^{2} R_{3}$

$P_{3} = 4 I_{1}^{2} R_{3}$

Co więcej, wiemy, że opory każdej z żarówek są takie same, czyli:

$P_{1} = I_{1}^{2} R$

$P_{2} = I_{1}^{2} R$

$P_{3} = 4 I_{1}^{2} R$

Widzimy więc, że moc żarówki trzeciej względem pierwszej lub drugiej jest czterokrotnie większa, ponieważ płynie przez nią dwukrotnie większy prąd:

$\frac{P _{3}}{P _{1}} = \frac{4 I _{1}^{2} R}{I _{1}^{2} R}$

$\frac{P _{3}}{P _{1}} = 4$

Odpowiedź:

Gdy obwód jest otwarty przez układ nie płynie prąd. Zatem żarówki nie świecą.

Gdy obwód jest zamknięty przez układ płynie prąd i żarówki świecą. Ponieważ przez żarówkę 1 płynie prąd o takim samym natężeniu, jak przez żarówkę 2 to oznacza, że żarówki te świecą z jednakową jasnością. Natomiast prąd płynący przez żarówkę 3 ma dwa razy większe natężenie niż prąd płynący przez żarówki 1 i 2. Oznacza to, że moc tego prądu jest 4 razy większa i żarówka 3 świeci 4 razy jaśniej niż żarówki 1 i 2.

$c)$

▶ Dla przypadku a)

Z podpunktu a) wiemy, że spełnione są zależności:

$I_{1} = \frac{E}{R} - I_{3}$

$I_{2} = \frac{E}{R} - I_{3}$

$I_{3} = 0$

Oznacza to, że:

$⎩ ⎨ ⎧ I_{1} = \frac{E}{R} - I_{3} I_{2} = \frac{E}{R} - I_{3} I_{3} = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ I_{1} = \frac{E}{R} - 0 I_{2} = \frac{E}{R} - 0 I_{3} = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ I_{1} = \frac{E}{R} I_{2} = \frac{E}{R} I_{3} = 0$

▶ Dla przypadku b)

Z podpunktu a) wiemy, że spełnione są zależności:

$I_{1} = I_{2}$

$I_{3} = 2 I_{1}$

Skorzystajmy z rysunku zamieszczonego w podpunkcie b) dla zamkniętego wyłącznika. Zapiszmy równanie wynikające z II prawa Kirchhoffa dla oczka z żarówkami 1 i 3:

$0 = E - I_{1} R_{1} - I_{3} R_{3}$