Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$\mathcal{E}=4,5V$  

$R=2\Omega$  

$r=1,5\Omega$  

 

$\text{a)}$  

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.1$       

Obliczmy zastępczy opór wewnętrzny układu. Mamy cztery rzędy połączone równolegle, gdzie w każdym z nich znajdują się trzy połączone szeregowo ogniwa.

Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$R_z=\sum _{i=1}^n{R}_i$

gdzie $R_z$  jest oporem zastępczym, $R_i$  jest oporem poszczególnych oporników, $n$  jest liczbą oporników w układzie.

Wówczas opór wewnętrzny ogniw połączonych szeregowo ma postać:

$r_{w.sz}=r+r+r$  

$r_{w.sz}=3\cdot r$  

Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy korzystając  z wzoru:

$\frac{1}{R_z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}$

gdzie $R_z$  jest oporem zastępczym, $R_i$  jest oporem poszczególnych oporników, $n$  jest liczbą oporników w układzie.

Wówczas układ czterech równoległych rzędów ogniw będzie miał zastępczy opór wewnętrzny:

$\frac{1}{r_w}=\sum _{i=1}^4\frac{1}{r_{i.w.sz}}$   

$\frac{1}{r_w}=\frac{1}{r_{w.sz}}+\frac{1}{r_{w.sz}}+\frac{1}{r_{w.sz}}+\frac{1}{r_{w.sz}}$  

$\frac{1}{r_w}=\frac{4}{r_{w.sz}}$  

$\frac{1}{r_w}=\frac{4}{3\cdot r}$  

Z tego wynika, że: 

$r_w=\frac{3}{4}\cdot r$  

W jednym rzędzie mamy trzy ogniwa połączone szeregowo, czyli całkowita siła elektromotoryczna układu będzie miała postać:

${\mathcal{E}}_{c1}=3\cdot \mathcal{E}$  

Korzystając z prawa Ohma dla całego obwodu otrzymujemy wzór:

$I=\frac{{\mathcal{E}}_c}{R+r_w}$  

gdzie $I$  jest natężeniem prądu płynącego przez obwód zamknięty o wartości siły elektromotorycznej ${\mathcal{E}}_c$ , który ma opór wewnętrzny $r_w$  i zewnętrzny $R$ .

Z tego wynika, że natężenie prądu płynącego przez obwód ma postać:

$I_1=\frac{{\mathcal{E}}_{c1}}{R+r_w}$   

$I_1=\frac{3\cdot \mathcal{E}}{R+\frac{3}{4}\cdot r}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_1=\frac{3\cdot 4,5V}{2\Omega +\frac{3}{4}\cdot 1,5\Omega }=\frac{13,5V}{2\Omega +1,125\Omega }=$    

$=\frac{13,5V}{3,125\Omega }=4,32A$    

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.2$  

W tym przypadku mamy 3 rzędy po 4 ogniwa:

${\mathcal{E}}_{c2}=4\cdot \mathcal{E}$   

Oznacza to, że opór ogniw połączonych szeregowo będzie miał postać:

$r_{w.sz}=r+r+r+r$  

$r_{w.sz}=4\cdot r$  

Natomiast wewnętrzny opór zastępczy całego układu będzie miał postać:

$\frac{1}{r_w}=\frac{1}{r_{w.sz}}+\frac{1}{r_{w.sz}}+\frac{1}{r_{w.sz}}$  

$\frac{1}{r_w}=\frac{3}{r_{w.sz}}$  

$\frac{1}{r_w}=\frac{3}{4\cdot r}$   

Wówczas:

$r_w=\frac{4}{3}\cdot r$  

Z tego wynika, że natężenie prądu przepływającego przez obwód będzie miało postać:

$I_2=\frac{{\mathcal{E}}_{c2}}{R+r_w}$   

$I_2=\frac{4\cdot \mathcal{E}}{R+\frac{4}{3}\cdot r}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_2=\frac{4\cdot 4,5V}{2\Omega +\frac{4}{3}\cdot 1,5\Omega }=\frac{18V}{2\Omega +2\Omega }=$    

$=\frac{18V}{4\Omega }=4,5A$    

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.3$

W tym przypadku mamy 2 rzędy po 6 ogniw:

${\mathcal{E}}_{c3}=6\cdot \mathcal{E}$    

Oznacza to, że opór ogniw połączonych szeregowo będzie miał postać:

$r_{w.sz}=r+r+r+r+r+r$  

$r_{w.sz}=6\cdot r$  

Natomiast wewnętrzny opór zastępczy całego układu będzie miał postać:

$\frac{1}{r_w}=\frac{1}{r_{w.sz}}+\frac{1}{r_{w.sz}}$  

$\frac{1}{r_w}=\frac{2}{r_{w.sz}}$  

$\frac{1}{r_w}=\frac{2}{6\cdot r}$  

Wówczas:

$r_w=\frac{6}{2}\cdot r$  

$r_w=3\cdot r$    

Z tego wynika, że natężenie prądu przepływającego przez obwód będzie miało postać:

$I_3=\frac{{\mathcal{E}}_{c3}}{R+r_w}$   

$I_3=\frac{6\cdot \mathcal{E}}{R+3\cdot r}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_3=\frac{6\cdot 4,5V}{2\Omega +3\cdot 1,5\Omega }=\frac{27V}{2\Omega +4,5\Omega }=$      

$=\frac{27V}{6,5\Omega }\approx 4,15A$      

 

$\text{b)}$  

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.1$  

Moc urządzenia elektrycznego przedstawiamy wzorem:

$P=I\cdot U$  

gdzie $P$  jest mocą urządzenia elektrycznego podłączonego do napięcia $U$ , przez które przepływa prąd o natężeniu $I$ .

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U=R\cdot I$  

gdzie $U$  jest napięciem, $I$  jest natężeniem, $R$  jest oporem.

Z tego wynika, że moc odbiornika możemy przedstawić wzorem:

$P=I\cdot U$  

$P=I\cdot R\cdot I$  

$P=I^2\cdot R$  

Z tego wynika, że moc w tym przypadku będzie miała postać:

$P_1=I_1^2\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_1={\left(4,32A\right)}^2\cdot 2\Omega =18,6624A^2\cdot 2\Omega =$    

$=37,3248A^2\cdot \Omega \approx 37,32W$    

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.2$  

Moc prądu dla drugiego układu akumulatorów będzie miała postać:

$P_2=I_2^2\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_2={\left(4,5A\right)}^2\cdot 2\Omega =20,25A^2\cdot 2\Omega =$  

$=40,5A^2\cdot \Omega =40,5W$  

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.3$  

Moc prądu dla trzeciego układu akumulatorów będzie miała postać:

$P_3=I_3^2\cdot R$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_3={\left(4,15A\right)}^2\cdot 2\Omega =17,2225A^2\cdot 2\Omega =$  

$=34,445A^2\cdot \Omega \approx 34,5W$  

 

$c)$  

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.1$  

Sprawność baterii możemy przedstawić wzorem:

$\eta =\frac{P_p}{P_w}\cdot 100\%$  

gdzie $\eta$  jest sprawnością baterii, która pobiera moc $P_p$  oraz wytwarza moc $P_w$ .

Z podpunktu b) wiemy, że:

$P_{p1}=P_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_{p1}=37,3W$   

Natomiast moc wytworzona przez baterie będzie miała postać:

$P_w={\mathcal{E}}_c\cdot I$  

Wówczas dla pierwszego układu otrzymujemy, że moc wytworzona na baterii wynosi:

$P_{w1}={\mathcal{E}}_{c1}\cdot I_1$  

$P_{w1}=3\cdot \mathcal{E}\cdot I_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_{w1}=3\cdot 4,5V\cdot 4,32A=77,76V\cdot A=58,32W$   

Wówczas sprawność baterii wynosi:

${\eta }_1=\frac{P_{p1}}{P_{w1}}\cdot 100\%$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\eta }_1=\frac{37,3W}{58,32W}\cdot 100\%\approx 0,64\cdot 100\%=64\%$  

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.2$  

W tym przypadku moc wytworzona na baterii będzie miała postać:

$P_{w2}={\mathcal{E}}_{c2}\cdot I_2$  

$P_{w2}=4\cdot \mathcal{E}\cdot I_2$  

$P_{w2}=4\cdot 4,5V\cdot 4,5A=81V\cdot A=81W$  

Wówczas sprawność baterii wynosi:

${\eta }_2=\frac{P_{p2}}{P_{w2}}\cdot 100\%$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\eta }_2=\frac{40,5W}{81W}\cdot 100\%=0,5\cdot 100\%=50\%$  

$\mathbf{r}\mathbf{y}\mathbf{s}.3$  

W tym przypadku moc wytworzona na baterii będzie miała postać:

$P_{w3}={\mathcal{E}}_{c3}\cdot I_3$  

$P_{w3}=6\cdot \mathcal{E}\cdot I_3$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru: 

$P_{w3}=6\cdot 4,5V\cdot 4,15A=112,05V\cdot A=112,05W$    

Wówczas sprawność baterii wynosi:

${\eta }_3=\frac{P_{p3}}{P_{w3}}\cdot 100\%$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\eta }_3=\frac{34,5W}{112,05W}\cdot 100\%\approx 0,31\cdot 100\%=31\%$