Dwa głośniki G₁ i G₂ odległe od siebie o 1,5 m wysyłają dźwięki o jednakowej częstotliwości...- Zadanie 40.14: Fizyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$d = 1, 5 m$

$f = 1100 Hz$

$v = 330 \frac{m}{s}$

$r_{1} = 0, 8 m$

$a)$

Korzystamy z wzoru na długość fali:

$λ = \frac{v}{f}$

gdzie $v$ jest szybkością rozchodzącej się fali, $f$ jest jej częstotliwością.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$λ = \frac{330 \frac{m}{s}}{1100 Hz} = \frac{330 \frac{m}{s}}{1100 \frac{1}{s}} = 0, 3 m$

$b)$

W zadaniu mamy podane, że membrany głośników drgają w zgodnych fazach. Oznacza to, że następuje wzmocnienie dźwięku. Korzystamy wówczas z warunku maksymalnego wzmocnienia fali:

$r_{2} - r_{1} = n λ$

gdzie odległość $r_{1}$ jest odległością pierwszego głośnika od punktu $P$ , $r_{2}$ jest odległością drugiego głośnika od punktu $P$ i wyznaczymy ją z twierdzenia Pitagorasa, $λ$ jest długością fali wyznaczoną w podpunkcie a), $n$ jest liczbą naturalną $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ .

Z tego wynika, że aby nastąpiło wzmocnienie fali musimy obliczyć wartość $n$ dla danych w naszym przypadku i jeśli będzie ona liczbą naturalną to mamy do czynienia ze wzmocnieniem fali.

$c)$

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wartość $r_{2}$ :

$r_{2}^{2} = r_{1}^{2} + d^{2}$

Pierwiastkujemy:

$r_{2} = r_{1}^{2} + d^{2}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$r_{2} = (0, 8 m)^{2} + (1, 5 m)^{2} = 0, 64 m^{2} + 2, 25 m^{2} = 2, 89 m^{2} = 1, 7 m$

Korzystamy z wzoru na maksymalne wzmocnienie fali, który przekształcamy tak, aby wyznaczyć wartość współczynnika $n$ :

$n λ = r_{2} - r_{1} ∣ : λ$

$n = \frac{r _{2} - r _{1}}{λ}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$n = \frac{1 , 7 m - 0 , 8 m}{0 , 3 m} = \frac{0 , 9 m}{0 , 3 m} = 3$

Otrzymaliśmy liczbę naturalną, oznacza to że w punkcie $P$ mamy wzmocnienie fali.

$d)$

Wiemy, że długość fali możemy przedstawić jako:

$λ = \frac{v}{f ^{'}}$

gdzie $f^{'}$ jest nową częstotliwością.

Oznacza to, że wówczas korzystając z wzoru na maksymalne wzmocnienie fali otrzymujemy:

$r_{2} - r_{1} = n \frac{v}{f ^{'}} ∣ \cdot f^{'}$

$f^{'} (r_{2} - r_{1}) = n v ∣ : (r_{2} - r_{1})$

$f^{'} = \frac{n v}{r _{2} - r _{1}}$

Widzimy, że częstotliwość jest wprost proporcjonalna do współczynnika $n$ . Dlatego musimy, założyć, że:

$n = 4$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f^{'} = \frac{4 \cdot 330 \frac{m}{s}}{1 , 7 m - 0 , 8 m} = \frac{1320 \frac{m}{s}}{0 , 9 m} = 1466, 6667 \frac{1}{s} \approx 1467 Hz$

Wówczas zmiana częstotliwości wynosi:

$Δ f = f^{'} - f$

$Δ f = 1467 Hz - 1100 Hz = 367 Hz$

$e)$

Korzystamy z wzoru na maksymalne osłabienie fali:

$r_{2} - r_{1} = (2 n + 1) \frac{λ}{2}$

Wiemy, że długość fali możemy przedstawić jako:

$λ = \frac{v}{f}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$r_{2} - r_{1} = (2 n + 1) \frac{v}{2 f}$

Przekształcamy wzór, tak aby wyznaczyć częstotliwość:

$r_{2} - r_{1} = (2 n + 1) \frac{v}{2 f} ∣ \cdot f$

$f (r_{2} - r_{1}) = (2 n + 1) \frac{v}{2} ∣ : (r_{2} - r_{1})$

$f = (2 n + 1) \frac{v}{2 ( r _{2} - r _{1} )}$

Z faktu, że częstotliwość jest wprost proporcjonalna do współczynnika n wynika, że mniejsze częstotliwości od 1100 Hz otrzymamy dla najmniejszych n. Wówczas otrzymujemy, że:

$dla n = 0 mamy, \overset{z}{˙} e:$

$f_{1} = (2 \cdot 0 + 1) \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{2 \cdot ( 1 , 7 m - 0 , 8 m )} = (0 + 1) \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{2 \cdot 0 , 9 m} = 1 \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{1 , 8 m} =$

$= 1 \cdot 183, 333 \frac{1}{s} \approx 1 \cdot 183 \frac{1}{s} = 183 Hz$

$dla n = 1 mamy, \overset{z}{˙} e:$

$f_{2} = (2 \cdot 1 + 1) \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{2 \cdot ( 1 , 7 m - 0 , 8 m )} = (2 + 1) \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{2 \cdot 0 , 9 m} = 3 \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{1 , 8 m} =$

$= 3 \cdot 183, 333 \frac{1}{s} = 549, 999 \frac{1}{s} \approx 549 Hz$

$dla n = 2 mamy, \overset{z}{˙} e:$

$f_{3} = (2 \cdot 2 + 1) \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{2 \cdot ( 1 , 7 m - 0 , 8 m )} = (4 + 1) \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{2 \cdot 0 , 9 m} = 5 \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{1 , 8 m} =$