$\text{a)}$  

Wiemy, że fale mają jednakowe amplitudy oraz częstotliwości, a są przesunięte względem siebie o fazę:

${\phi }_0=\frac{\pi }{2}$  

Zatem równanie fali dla pierwszej z nich możemy przedstawić wzorem:

$y_1=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$  

Natomiast dla drugiej będzie miało postać:

$y_2=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+{\phi }_0\right]$  

Wykonajmy rysunki tych funkcji:

Narysujmy kilka prostych równoległych do osi pionowej $y$  i zaznaczmy ich punktu przecięcia z wykresami:

Punkty przecięcia tych wykresów z osia pionową $y$  wynoszą $A$  i $0$ . Z tego wynika, że powstała wypadkowa fala ma początek :

$y_{w.0}=A+0=A$  

Zauważmy, że prosta $k$  przecina wykresy w punktach o współrzędnych na osi $y$ , które wynoszą $0$  i $-A$ . Z tego wynika, że powstała wypadkowa fala ma na tej prostej współrzędną:

$y_{w.k}=0-A=-A$  

Zauważmy, że prosta $l$  przecina wykresy w punktach o współrzędnych na osi $y$ , które wynoszą  $-0,7A$  i $-0,7A$ . Z tego wynika, że powstała wypadkowa fala ma na tej prostej współrzędną:

$y_{w.l}=-0,7A-0,7A=-1,4A$  

Zauważmy, że prosta $m$  przecina wykresy w punktach o współrzędnych na osi $y$ , które wynoszą $-A$  i $0$ . Z tego wynika, że powstała wypadkowa fala ma na tej prostej współrzędną:

$y_{w.m}=-A-0=-A$  

Zauważmy, że prosta $n$  przecina wykresy w punktach o współrzędnych na osi $y$ , które wynoszą $0$  i $A$ . Z tego wynika, że powstała wypadkowa fala ma na tej prostej współrzędną:

$y_{w.k}=0+A=A$  

Otrzymujemy zatem, że:

 

$\text{b)}$  

Z otrzymanego wykresu wynika, że amplituda fali wynosi około:

$A_w=1,4A$  

Sprawdźmy wykonując obliczenia, czy otrzymamy tę samą amplitudę wypadkową:

Wiemy, że:

$y_1=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$  

$y_2=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+\frac{\pi }{2}\right]$  

Przyjmijmy:

$\alpha =\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)$  

Wówczas mamy równania:

$y_1=A\sin \alpha$  

$y_2=A\sin \left[\alpha +\frac{\pi }{2}\right]$  

Wypadkową falę możemy przedstawić wzorem:

$y=A{}^{\prime }\sin \sigma$  

gdzie $\sim ga$  jest pewną funkcją zależną od czasu i położenia, $A{}^{\prime }$  jest amplitudą powstałej fali wypadkowej. 

Korzystając z superpozycji fal wiemy, że:

$y=y_1+y_2$  

$y=A\sin \alpha +A\sin \left[\alpha +\frac{\pi }{2}\right]$  

$y=A\left(\sin \alpha +\sin \left[\alpha +\frac{\pi }{2}\right]\right)$  

Ponieważ:

$\sin x+\sin y=2\cos \frac{x-y}{2}\sin \frac{x+y}{2}$  

To możemy zapisać, że:

$y=A\cdot 2\cdot \cos \left(\frac{\alpha -\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)}{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha +\alpha +\frac{\pi }{2}}{2}\right)$  

$y=A\cdot 2\cdot \cos \left(\frac{\alpha -\alpha -\frac{\pi }{2}}{2}\right)\sin \left(\frac{2\alpha +\frac{\pi }{2}}{2}\right)$  

$y=2A\cos \left(\frac{-\frac{\pi }{2}}{2}\right)\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$  

$y=2A\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$  

Ponieważ:

$\cos \left(-x\right)=\cos x$  

To wówczas mamy:

$y=2A\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$  

Z otrzymanej funkcji możemy odczytać, że wypadkowa amplituda będzie wynosiła:

$A{}^{\prime }=2A\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)$  

$A{}^{\prime }=2A\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$A{}^{\prime }=\sqrt{2}A$  

$A{}^{\prime }\approx 1,4A$  

Otrzymany w wyniku obliczeń wynik pokrywa się z odczytamy z wykresu.