Za pomocą soczewki dwuwypukłej...- Zadanie 32.14: Fizyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$r_{1} = 5 cm = 0, 05 m$

$r_{2} = 25 cm = 0, 25 m$

$p_{1} = \frac{1}{3}$

$p_{2} = \frac{1}{7}$

$d = \frac{1}{3} m$

$n_{w} = 1, 3$

$a)$

Z danych podanych w zadaniu wynika, że:

$x_{2} = x_{1} + d$

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p = \frac{y}{x}$

gdzie $x$ jest odległością przedmiotu od soczewki, $y$ jest odległością obrazu od soczewki.

Z tego wynika, że pierwsze powiększenie obrazu będzie miało postać:

$p_{1} = \frac{y _{1}}{x _{1}}, czyli y_{1} = p_{1} \cdot x_{1}$

Natomiast drugie powiększenie obrazu będzie miało postać:

$p_{2} = \frac{y _{2}}{x _{2}}, czyli y_{2} = p_{2} \cdot x_{2}$

Wiemy, że:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

gdzie $f$ jest ogniskową soczewki, $x$ jest odległością przedmiotu od soczewki, $y$ jest odległością obrazu od soczewki.

Dla przypadku, gdy przedmiot znajduje się w pierwszym położeniu otrzymujemy, że:

$\frac{1}{f _{1}} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{y _{1}}$

Natomiast, gdy przedmiot znajduje się w drugim położeniu otrzymujemy, że:

$\frac{1}{f _{2}} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{y _{2}}$

Nie zmieniamy soczewki, a odległość przedmiotu od niej, czyli odwrotność ogniskowej nie ulega zmianie. Otrzymujemy zatem równanie, z którego wyznaczamy odległość przedmiotu od soczewki w pierwszym położeniu:

$\frac{1}{f _{1}} = \frac{1}{f _{2}}$

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{y _{1}} = \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{y _{2}}$

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{p _{1} \cdot x _{1}} = \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{p _{2} \cdot x _{2}}$

$\frac{p _{1}}{p _{1} \cdot x _{1}} + \frac{1}{p _{1} \cdot x _{1}} = \frac{p _{2}}{p _{2} \cdot x _{2}} + \frac{1}{p _{2} \cdot x _{2}}$

$\frac{p _{1} + 1}{p _{1} \cdot x _{1}} = \frac{p _{2} + 1}{p _{2} \cdot x _{2}}$

Wymnażamy na krzyż:

$(p_{1} + 1) \cdot p_{2} \cdot x_{2} = (p_{2} + 1) \cdot p_{1} \cdot x_{1}$

$p_{1} \cdot p_{2} \cdot x_{2} + p_{2} \cdot x_{2} = p_{2} \cdot p_{1} \cdot x_{1} + p_{1} \cdot x_{1}$

$p_{1} \cdot p_{2} \cdot (x_{1} + d) + p_{2} \cdot (x_{1} + d) = p_{2} \cdot p_{1} \cdot x_{1} + p_{1} \cdot x_{1}$

$p_{1} \cdot p_{2} \cdot x_{1} + p_{1} \cdot p_{2} \cdot d + p_{2} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot d = p_{1} \cdot p_{2} \cdot x_{1} + p_{1} \cdot x_{1} ∣ - p_{1} \cdot p_{2} \cdot x_{1}$

$p_{1} \cdot p_{2} \cdot d + p_{2} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot d = p_{1} \cdot x_{1} ∣ - p_{1} \cdot x_{1} - p_{1} \cdot p_{2} \cdot d - p_{2} \cdot d$

$- p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{1} = - p_{1} \cdot p_{2} \cdot d - p_{2} \cdot d ∣ \cdot (- 1)$

$p_{1} \cdot x_{1} - p_{2} \cdot x_{1} = p_{1} \cdot p_{2} \cdot d + p_{2} \cdot d$

$(p_{1} - p_{2}) \cdot x_{1} = (p_{1} \cdot p_{2} + p_{2}) \cdot d ∣ \cdot (p_{1} - p_{2})$

$x_{1} = \frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2}}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

Wówczas odległość obrazu od soczewki, który powstał w pierwszym przypadku ma postać :

$y_{1} = p_{1} \cdot x_{1}$

$y_{1} = p_{1} \cdot \frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2}}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

$y_{1} = p_{1} \cdot \frac{p _{2} \cdot ( p _{1} + 1 )}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

$y_{1} = \frac{p _{1} \cdot p _{2} \cdot ( p _{1} + 1 )}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y_{1} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot ( \frac{1}{3} + 1 )}{\frac{1}{3} - \frac{1}{7}} \cdot \frac{1}{3} m = \frac{\frac{1}{21} \cdot \frac{4}{3}}{\frac{7}{21} - \frac{3}{21}} \cdot \frac{1}{3} m =$

$= \frac{\frac{1}{21} \cdot \frac{4}{3}}{\frac{4}{21}} \cdot \frac{1}{3} m = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} m = \frac{1}{9} m$

Odległość przedmiotu od soczewki dla drugiego położenia ma postać:

$x_{2} = x_{1} + d$

$x_{2} = \frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2}}{p _{1} - p _{2}} \cdot d + d$

$x_{2} = (\frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2}}{p _{1} - p _{2}} + 1) \cdot d$

$x_{2} = (\frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2}}{p _{1} - p _{2}} + \frac{p _{1} - p _{2}}{p _{1} - p _{2}}) \cdot d$

$x_{2} = \frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2} + p _{1} - p _{2}}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

$x_{2} = \frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{1}}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

Wówczas odległość obrazu od soczewki ma postać:

$y_{2} = p_{2} \cdot x_{2}$

$y_{2} = p_{2} \cdot \frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{1}}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

$y_{2} = p_{2} \cdot \frac{p _{1} \cdot ( p _{2} + 1 )}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

$y_{2} = \frac{p _{1} \cdot p _{2} \cdot ( p _{2} + 1 )}{p _{1} - p _{2}} \cdot d$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y_{2} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot ( \frac{1}{7} + 1 )}{\frac{1}{3} - \frac{1}{7}} \cdot \frac{1}{3} m = \frac{\frac{1}{21} \cdot \frac{8}{7}}{\frac{7}{21} - \frac{3}{21}} \cdot \frac{1}{3} m =$

$= \frac{\frac{1}{21} \cdot \frac{8}{7}}{\frac{4}{21}} \cdot \frac{1}{3} m = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} m = \frac{2}{21} m$

$b)$

Ogniskową soczewki możemy obliczyć korzystając z zależności:

$\frac{1}{f _{1}} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{y _{1}}$

Zdolność skupiająca soczewki jest odwrotnością ogniskowej soczewki:

$Z = \frac{1}{f}$

gdzie f jest ogniskową, Z jest zdolnością skupiającą. Z tego wynika, że zdolność skupiająca soczewki ma postać:

$Z = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{y _{1}}$

$Z = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{p _{1} \cdot x _{1}}$

$Z = \frac{p _{1}}{p _{1} \cdot x _{1}} + \frac{1}{p _{1} \cdot x _{1}}$

$Z = \frac{p _{1} + 1}{p _{1} \cdot x _{1}}$

$Z = \frac{p _{1} + 1}{p _{1}} \cdot \frac{1}{x _{1}}$

$Z = \frac{p _{1} + 1}{p _{1}} \cdot \frac{1}{\frac{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2}}{p _{1} - p _{2}} \cdot d}$

$Z = \frac{p _{1} + 1}{p _{1}} \cdot \frac{p _{1} - p _{2}}{p _{1} \cdot p _{2} + p _{2}} \cdot \frac{1}{d}$

$Z = \frac{p _{1} + 1}{p _{1}} \cdot \frac{p _{1} - p _{2}}{p _{2} \cdot ( p _{1} + 1 )} \cdot \frac{1}{d}$

$Z = \frac{p _{1} - p _{2}}{p _{1} \cdot p _{2}} \cdot \frac{1}{d}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Z = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{7}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3} m} = \frac{\frac{7}{31} - \frac{3}{21}}{\frac{1}{21}} \cdot 3 \frac{1}{m} =$

$= \frac{\frac{4}{21}}{\frac{1}{21}} \cdot 3 \frac{1}{m} = 4 \cdot 3 \frac{1}{m} = 12 D$

$c)$

Równanie soczewki znajdującej się w powietrzu ma postać:

$\frac{1}{f} = (n - 1) \cdot (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

gdzie $f$ jest ogniskową soczewki, $n$ jest współczynnikiem załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka, $r_{1}$ i $r_{2}$ są promieniami krzywizny soczewki.

Wyznaczmy współczynnik załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka:

$\frac{1}{f} = (n - 1) \cdot (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

$\frac{1}{f} = (n - 1) \cdot (\frac{r _{2}}{r _{1} \cdot r _{2}} + \frac{r _{1}}{r _{1} \cdot r _{2}})$

$Z = (n - 1) \cdot \frac{r _{1} + r _{2}}{r _{1} \cdot r _{2}} ∣ \cdot \frac{r _{1} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2}}$

$Z \cdot \frac{r _{1} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2}} = n - 1$

Zamieniamy stronami:

$n - 1 = Z \cdot \frac{r _{1} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2}} ∣ + 1$

$n = Z \cdot \frac{r _{1} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2}} + 1$

$n = \frac{p _{1} - p _{2}}{p _{1} \cdot p _{2}} \cdot \frac{1}{d} \cdot \frac{r _{1} \cdot r _{2}}{r _{1} + r _{2}} + 1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{7}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3} m} \cdot \frac{0 , 05 m \cdot 0 , 25 m}{0 , 05 m + 0 , 25 m} + 1 =$

$= \frac{\frac{7}{31} - \frac{3}{21}}{\frac{1}{21}} \cdot 3 \frac{1}{m} \cdot \frac{0 , 0125 m ^{2}}{0 , 3 m} + 1 =$

$= \frac{\frac{4}{21}}{\frac{1}{21}} \cdot 3 \frac{1}{m} \cdot \frac{125}{3000} m + 1 = 4 \cdot 3 \frac{1}{m} \cdot \frac{125}{3000} m + 1 =$

$= \frac{500}{1000} + 1 = 0, 5 + 1 = 1, 5$

$d)$

Jeśli soczewka nie znajduje się w powietrzu, lecz w ośrodku o współczynniku załamania $n_{otoczenia}$ , współczynnik załamania $n$ w równaniu soczewki należy zastąpić względnym współczynnikiem załamania:

$n_{wzgl.} = \frac{n _{soczewki}}{n _{otoczenia}}$

Otrzymujemy wówczas, że:

$\frac{1}{f} = (\frac{n _{soczewki}}{n _{otoczenia}} - 1) \cdot (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

gdzie $f$ jest ogniskową soczewki, $n_{soczewki}$ jest współczynnikiem załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka, $n_{otoczenia}$ jest współczynnikiem załamania ośrodka w jakim znajduje się soczewka, $r_{1}$ i $r_{2}$ są promieniami krzywizny soczewki.

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

$\frac{1}{f} = (\frac{n}{n _{w}} - 1) \cdot (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

Z tego wynika, że zdolność skupiająca soczewki będzie miała postać:

$Z^{'} = (\frac{n}{n _{w}} - 1) \cdot (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Z^{'} = (\frac{1 , 5}{1 , 3} - 1) \cdot (\frac{1}{0 , 05 m} + \frac{1}{0 , 25 m}) = (\frac{15}{13} - 1) \cdot (20 \frac{1}{m} + 4 \frac{1}{m}) = \frac{2}{13} \cdot 24 \frac{1}{m} = \frac{48}{13} D$