Za pomocą czajnika elektrycznego...- Zadanie 25.9: Fizyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$U_{0} = 322 V$

$R = 30 Ω$

$t = 4 min 22 s = 240 s + 22 s = 262 s$

$V = 1, 5 l = 1, 5 dm^{3} = 1, 5 \cdot 10^{- 3} m^{3}$

$T_{k} = 100^{\circ} C = 373 K$

$c_{w} = 4190 \frac{J}{kg \cdot K}$

Przyjmujemy, że gęstość wody wynosi:

$ρ = 10^{3} \frac{kg}{m ^{3}}$

Szukane:

$T_{p} = ?$

Rozwiązanie:

Korzystając z wzoru na gęstość wyznaczmy masę podgrzewanej wody:

$ρ = \frac{m}{V}, czyli m = ρ V$

gdzie $ρ$ jest gęstością, $m$ jest masą, $V$ jest objętością.

Ciepło jakie należy dostarczyć wodzie, aby ja podgrzać przedstawimy wzorem:

$Q = m c_{w} Δ T$

gdzie $Q$ jest ciepłem jakie należy dostarczyć do ciała o masie $m$ i cieple właściwym $c_{w}$ , aby zmienić jego temperaturę o $Δ T$ .

Zmianę temperatury możemy przedstawić jako różnicę temperatury końcowej ciała i temperatury początkowej ciała:

$Δ T = T_{k} - T_{p}$

Otrzymujemy wówczas, że ciepło dostarczone do wody będzie miało postać:

$Q = m c_{w} Δ T$

$Q = ρ V c_{w} (T_{k} - T_{p})$

Pracę jaką musi wykonać czajnik, aby podgrzać wodę przedstawimy wzorem:

$W = \frac{U _{s}^{2}}{R} t$

gdzie $W$ jest pracą jaką wykonuje urządzenie elektryczne o oporze $R$ podpięte do źródła o napięciu skutecznym $U_{s}$ w czasie $t$ .

Napięcie skuteczne prądu przemiennego wyrażamy wzorem:

$U_{s} = \frac{U _{0}}{2}$

gdzie $U_{s}$ jest napięciem skutecznym, $U_{0}$ jest napięciem maksymalnym (amplitudą).

Otrzymujemy wówczas, że praca jaką musi wykonać czajnik będzie miała postać:

$W = \frac{U _{s}^{2}}{R} t$

$W = \frac{( \frac{U _{0}}{2} ) ^{2}}{R} t$

$W = \frac{U _{0}^{2}}{2 R} t$

Porównajmy pracę jaką musi wykonać czajnik, aby podgrzać wodę, z ciepłem jakie należy dostarczyć wodzie, aby została podgrzana i wyznaczmy temperaturę początkową wody:

$Q = W$

$ρ V c_{w} (T_{k} - T_{p}) = \frac{U _{0}^{2}}{2 R} t ∣ : ρ V c_{w}$

$T_{k} - T_{p} = \frac{U _{0}^{2} t}{2 R ρ V c _{w}} ∣ - T_{k}$

$- T_{p} = - T_{k} + \frac{U _{0}^{2} t}{2 R ρ V c _{w}} ∣ : (- 1)$

$T_{p} = T_{k} - \frac{U _{0}^{2} t}{2 R ρ V c _{w}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_{p} = 373 K - \frac{( 322 V ) ^{2} \cdot 262 s}{2 \cdot 30 Ω \cdot 10 ^{3} \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 1 , 5 \cdot 10 ^{- 3} m ^{3} \cdot 4190 \frac{J}{kg \cdot K}} =$

$= 373 K - \frac{103684 V ^{2} \cdot 262 s}{60 Ω \cdot 1 , 5 kg \cdot 4190 \frac{V \cdot A \cdot s}{kg \cdot K}} =$

$= 373 K - \frac{27 165 208 V ^{2} \cdot s}{377100 Ω \cdot V \cdot A \cdot s \cdot \frac{1}{K}} = 373 K - \frac{27 165 208 V ^{2} \cdot s}{377100 V ^{2} \cdot s \cdot \frac{1}{K}} \approx$