$\mathrm{4.1.}$  

Naszym zadaniem jest wyznaczenie amplitudy, długości fali, okresu i szybkości fali opisanej funkcją:

$y\left(x,t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\text{m}}\cdot x-5\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

gdzie:

$y\left(x,t\right)$ - funkcja falowa zależna od położenia i czasu, 

$x$ - położenie punktów fali, 

$t$ - czas. 

Ogólna postać wzoru na funkcję falową jest dana jako:

$y\left(x,t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

gdzie:

$y$ - wychylenie punktu z położenia równowagi,

$A$ - amplituda fali,

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$x$ - położenie względem źródła fali,

$v$ - wartość prędkości fali.

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Zatem możemy zapisać, że:

$y\left(x,t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

$y\left(x,t\right)=A\sin \left[\frac{2\pi }{T}\left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

$y\left(x,t\right)=A\sin \left[2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{vT}\right)\right]$

Zauważmy, że:

$y\left(x,t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\text{m}}\cdot x-5\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

$y\left(x,t\right)=A\sin \left[2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{vT}\right)\right]$ 

Z tego wynika, że:

$A=0,02\text{m}$

 $\frac{t}{T}=5\frac{1}{\text{s}}\cdot t$

$\frac{x}{vT}=2\frac{1}{\text{m}}\cdot x$

Długość fali akustycznej możemy przedstawić wzorem:

$\lambda =vT$ 

gdzie:

$\lambda$ - długość fali. 

Obliczamy poszczególne wielkości:

▶ Amplituda:

$A=0,02\text{m}=0,02\cdot 100\text{cm}=2\text{cm}$  

▶ Długość fali:

$\frac{x}{vT}=2\frac{1}{\text{m}}\cdot x$

$\frac{x}{\lambda }=2\frac{1}{\text{m}}\cdot x|:x$

$\frac{1}{\lambda }=2\frac{1}{\text{m}}$

$\frac{1}{\lambda }=\frac{2}{1\text{m}}$

Odwracamy ułamek:

$\frac{\lambda }{1}=\frac{1\text{m}}{2}$

$\lambda =0,5\text{m}$

▶ Okres:

$\frac{t}{T}=5\frac{1}{\text{s}}\cdot t|:t$

$\frac{1}{T}=5\frac{1}{\text{s}}$

$\frac{1}{\text{T}}=\frac{5}{1\text{s}}$

Odwracamy ułamek:

$\frac{T}{1}=\frac{1\text{s}}{5}$

$T=\frac{1}{5}\text{s}$

$T=0,2\text{s}$

▶ Szybkość:

$\frac{x}{vT}=2\frac{1}{\text{m}}\cdot x|:x$

$\frac{1}{vT}=2\frac{1}{\text{m}}$

$\frac{1}{vT}=\frac{2}{1\text{m}}$

Odwracamy ułamek:

$\frac{vT}{1}=\frac{1\text{m}}{2}$

$vT=\frac{1}{2}\text{m}$

$vT=0,5\text{m}$

$v\cdot 0,2\text{s}=0,5\text{m}|:0,2\text{s}$

$v=\frac{0,5\text{m}}{0,2\text{s}}$

$v=2,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

 

$\mathrm{4.2.}$

Naszym zadaniem jest narysowanie w zeszycie wykresu zależności $y\left(0,x\right)$. 

Wiemy, że:

$y\left(x,t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\text{m}}\cdot x-5\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

Wówczas:

$y\left(x,0\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\text{m}}\cdot x-5\frac{1}{\text{s}}\cdot 0\right)$

$y\left(x,0\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\text{m}}\cdot x-0\right)$

$y\left(x,0\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\text{m}}\cdot x\right)$

$y\left(x,0\right)=0,02\text{m}\cdot \sin \left(2\cdot \pi \cdot 2\frac{1}{\text{m}}\cdot x\right)$

$y\left(x,0\right)=0,02\text{m}\cdot \sin \left(4\pi \frac{1}{\text{m}}\cdot x\right)$

Wykonajmy wykres $y\left(x,0\right)$ :

 

$4.3$  

Naszym zadaniem jest narysowanie wykresu zależności $y\left(0,125\text{m},t\right)$. Ogólnie wzór funkcji ma postać:

$y\left(x,t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\text{m}}\cdot x-5\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

Wówczas:

$y\left(0,125\text{m},t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(2\frac{1}{\cancel{\text{m}}}\cdot 0,125\cancel{\text{m}}-5\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

$y\left(0,125\text{m},t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin 2\cdot \pi \cdot \left(0,25-5\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

$y\left(0,125\text{m},t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin \left(2\cdot \pi \cdot 0,25-2\cdot \pi \cdot 5\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

$y\left(0,125\text{m},t\right)=0,02\text{m}\cdot \sin \left(0,5\pi -10\pi \frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

Ponieważ $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$  to:

$y\left(0,125\text{m},t\right)=0,02\text{m}\cdot \cos \left(10\pi \frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$

Wykonajmy wykres $y\left(0,125\text{m},t\right)$ :