Dane:

$n=1,5$  

$y=25\text{cm}$  

$p=11$  

Szukane:

$r=?$  

Rozwiązanie:

W soczewce powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{\left|y\right|}{x}$

gdzie:

$p$ - powiększenie obrazu, 

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$\left|y\right|$ - bezwzględna odległość obrazu od soczewki.

Z tego wynika, że odległość przedmiotu od soczewki możemy przedstawić wzorem:

$x=\frac{\left|y\right|}{p}$  

Równanie soczewki opisuje zależności pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu od soczewki, a długością ogniskowej. Ma ono postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ - odległość obrazu od soczewki.

W naszym przypadku soczewka jest skupiająca ale użyta jako lupa daje obraz pozorny, czyli $y<0$. 

Otrzymujemy zatem:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$   

Równanie materiałowe soczewki (równanie szlifierzy soczewek) ma postać:

$\frac{1}{f}=\left(\frac{n}{n_0}-1\right)\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$n$ - współczynnik załamania dla soczewki,

$n_0$  - współczynnik załamania dla otoczenia,

$r_1,r_2$  - promienie krzywizn soczewki.

Promień krzywizny dla powierzchni wklęsłej jest ujemny. Ogniskowa soczewki przyjmuje wartość dodatnią dla soczewki skupiającej, a wartość ujemną dla soczewki rozpraszającej.

Równanie soczewki znajdującej się w powietrzu, dla którego $n_0=1$ ma zatem postać:

$\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\cdot \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)$   

Z treści zadania wynika, że skoro soczewka jest dwuwypukła o jednakowych promieniach krzywizny to:

$r_1=r_2=r$  

Wówczas:

$\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\cdot \left(\frac{1}{r}+\frac{1}{r}\right)$  

$\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\cdot \frac{2}{r}$  

Porównajmy oba równania i wyznaczmy promień krzywizny powierzchni ograniczających tę soczewkę:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\left(n-1\right)\cdot \frac{2}{r}$  

$\frac{1}{\frac{y}{p}}-\frac{1}{y}=\left(n-1\right)\cdot \frac{2}{r}$  

$\frac{p}{y}-\frac{1}{y}=\left(n-1\right)\cdot \frac{2}{r}$  

$\frac{p-1}{y}=\frac{2\cdot \left(n-1\right)}{r}\mid \cdot r$  

$r\cdot \frac{p-1}{y}=2\cdot \left(n-1\right)\mid \cdot \frac{y}{p-1}$  

$r=\frac{2\cdot y\cdot \left(n-1\right)}{p-1}$           

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r=\frac{2\cdot 25\text{cm}\cdot \left(1,5-1\right)}{11-1}=\frac{50\text{cm}\cdot 0,5}{10}=\frac{25\text{cm}}{10}=2,5\text{cm}$

Odpowiedź: Promień krzywizny wynosi 2,5 cm.