Dane:

$U_0=322\text{V}$  

$m=1,2\text{kg}$  

$t_1={20}^{\circ }\text{C, czyli }{T}_1=293\text{K}$  

$t={100}^{\circ }\text{C, czyli }T=373\text{K}$  

$c=4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  

$\tau =4\text{min}=240\text{s}$  

$k=10\%=0,1$  

Szukane:

$R=?$  

Rozwiązanie: 

Moc skuteczną $P_s$ obliczymy jako iloczyn napięcia skutecznego $U_s$  i natężenia skutecznego $I_s$  prądu:

$P_s=U_s{I}_s$  

Natężenie skuteczne zgodnie z prawem Ohma możemy przedstawić wzorem:

$I_s=\frac{U_s}{R}$  

gdzie: $R$  jest oporem grzałki. 

Napięcie skuteczne w zależności od napięcia maksymalnego w sieci dla prądu przemiennego ma postać:

$U_s=\frac{U_0}{\sqrt{2}}$  

Z tego wynika, że moc skuteczną prądu przedstawimy wzorem:

$P_s=U_s{I}_s$  

$P_s=U_s\frac{U_s}{R}$  

$P_s=\frac{U_s^2}{R}$  

$P_s=\frac{{\left(\frac{U_0}{\sqrt{2}}\right)}^2}{R}$  

$P_s=\frac{U_0^2}{2R}$  

Energia dostarczona przez czajnik do wody będzie miała postać:

$E_{\text{dost.}}=P_s\tau$  

gdzie: $\tau$  jest czasem w jakim woda się zagotowała. 

Energia pobrana przez wodę odpowiada ciepłu, jakie zostało dostarczone do wody w wyniku podniesienia jej temperatury o:

$\Delta T=T-T_1$  

Wówczas energię pobraną możemy przedstawić wzorem:

$E_{\text{pobr.}}=mc\Delta T$  

gdzie: $m$  jest masą wody, $c$  jest ciepłem właściwym, $\Delta T$  jest zmianą temperatury. 

Strata ciepła w tym procesie będzie różnicą między energią dostarczoną, a pobraną:

$E_{\text{straty}}=E_{\text{dost.}}-E_{\text{pobr.}}$  

Podany mamy procent strat, czyli stosunek energii straconej do dostarczonej:

$k=\frac{E_{\text{straty}}}{E_{\text{dost.}}}$  

Przekształcając powyższe zależności otrzymujemy, że opór grzałki możemy przedstawić wzorem:

$k=\frac{E_{\text{straty}}}{E_{\text{dost.}}}$  

$k=\frac{E_{\text{dost.}}-E_{\text{pobr.}}}{E_{\text{dost.}}}\mid \cdot E_{\text{dost.}}$  

$k{E}_{\text{dost.}}=E_{\text{dost.}}-E_{\text{pobr. }}\mid -k{E}_{\text{dost.}}+E_{\text{pobr.}}$  

$E_{\text{pobr.}}=E_{\text{dost.}}-k{E}_{\text{dost.}}$  

$E_{\text{pobr.}}=\left(1-k\right)E_{\text{dost.}}$  

$mc\Delta T=\left(1-k\right)P_s\tau$  

$mc\left(T-T_1\right)=\left(1-k\right)\frac{U_0^2}{2R}\tau \mid \cdot R$  

$mc\left(T-T_1\right)R=\frac{\left(1-k\right)U_0^2\tau }{2}\mid :mc\left(T-T_1\right)$  

$R=\frac{\left(1-k\right)U_0^2\tau }{2mc\left(T-T_1\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R=\frac{\left(1-0,1\right)\cdot {\left(322\text{V}\right)}^2\cdot 240\text{s}}{2\cdot 1,2\text{kg}\cdot 4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot \left(373\text{K}-293\text{K}\right)}=$  

$=\frac{0,9\cdot 103684{\text{V}}^2\cdot 240\text{s}}{2\cdot 1,2\text{kg}\cdot 4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 80\text{K}}=$

$=\frac{279946,8{\text{V}}^2\cdot \text{s}}{10056\text{J}}=\frac{279946,8{\text{V}}^2\cdot \text{s}}{10056\text{V}\cdot \text{A}\cdot \text{s}}\approx$  

$\approx 27,83878\frac{\text{V}}{\text{A}}\approx 28\Omega$  

Zauważamy, że taka wartość znajduje się w odpowiedzi D. 

Odpowiedź:

$\text{D. }28\Omega$