UWAGA! W podpunkcie 3.4. podręcznik podaje niewłaściwą odpowiedź do zadania.

 

Dane:

$M=10\text{g}=0,01\text{kg}$  

$R=8\text{mm}=8\cdot 10^{-3}\text{m}$  

$Q=2\cdot 10^{-14}\text{C}$  

 Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z: 

▶ stała elektryczna w próżni: $k=9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$.

 

$\mathrm{3.1.}$  

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności potencjału wytworzonego przez naelektryzowaną kulkę od odległości od jej środka. 

Potencjał pola elektrycznego w danym punkcie pola wokół ładunku punktowego możemy przedstawić wzorem:

$V=\frac{kQ}{r}$

gdzie:

$V$ - potencjał pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy potencjał od ładunku źródłowego.

My mamy jednorodnie naładowaną kulę. Oznacza to, że wewnątrz kuli będziemy mieli stałą wartość potencjału pola, a na zewnątrz kulki potencjał będzie zmieniał się w zależności od odległości od kuli. 

Graniczną maksymalną wartością potencjału pola będzie potencjał na powierzchni kuli. Będzie on wynosił:

$V_R=\frac{kQ}{R}$

gdzie:

$V_R$ - potencjał na powierzchni kuli, 

$R$ - promień kuli. 

Wówczas potencjał wewnątrz kuli zależności od odległości od jej środka przedstawimy jako:

$V_{r<R}=\text{const}$

$V_{r<R}=V_0$

$V_{r<R}=\frac{kQ}{R}$

Obliczmy potencjał na powierzchni kuli:

$V_R=\frac{9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^{\cancel{2}}}\cdot 2\cdot 10^{-14}\cancel{\text{C}}}{8\cdot 10^{-3}\text{m}}=$

$=\frac{18\cdot 10^{-5}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^{\cancel{2}}}{\text{C}}}{8\cdot 10^{-3}\cancel{\text{m}}}=2,25\cdot 10^{-2}\frac{\text{N}\cdot \text{m}}{\text{C}}=$

$=0,0225\frac{\text{N}\cdot \text{m}}{\text{C}}$

W odległości od kuli większej niż jej promień możemy przedstawić zależnością:

$V_{r>R}=\frac{kQ}{r}$

Obliczmy iloczyn stałej elektrycznej oraz ładunku kuli:

$kQ=9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^{\cancel{2}}}\cdot 2\cdot 10^{-14}\cancel{\text{C}}=$

$=18\cdot 10^{-5}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{C}}=0,00018\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{C}}$

Pomijając podstawowe jednostki układu SI zapiszmy zależność opisującą potencjał poza kulą:

$V_{r>R}=\frac{0,00018}{r}$

Wówczas otrzymujemy, że zależność potencjału pola wytworzonego przez naelektryzowaną kulkę od odległości od jej środka możemy przedstawić funkcją:

$V\left(r\right)=\{\begin{array}{l}0,0225\text{dla}r\le R\\ \frac{0,00018}{r}\text{dla}r>R\end{array}$

Zauważmy że funkcja ta jest w pierwszy przedziale funkcją stałą, a w drugim przedziale jest funkcją wymierną. Wykres zależności potencjału pola od odległości będzie miał postać:

 

$\mathrm{3.2.}$  

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulkę od odległości od jej środka. Wartość natężenia centralnego pola elektrostatycznego w danym punkcie pola wyznaczamy korzystając z wzoru:

$E=\frac{kQ}{r^2}$

gdzie:

$E$ - wartość natężenia centralnego pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy natężenie od ładunku źródłowego.

W naszym przypadku ładunkiem źródłowym jest jednorodna kula. Na powierzchni tej kuli natężenie pola będzie miało wartość:

$E_{r=R}=\frac{kQ}{R^2}$

Obliczmy to natężenie:

$E_{r=R}=\frac{9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^{\cancel{\text{2}}}}\cdot 2\cdot 10^{-14}\cancel{\text{C}}}{{\left(8\cdot 10^{-3}\text{m}\right)}^2}=$

$=\frac{18\cdot 10^{-5}\text{N}\cdot \frac{\cancel{{\text{m}}^2}}{\text{C}}}{64\cdot 10^{-6}\cancel{{\text{m}}^2}}=0,28125\cdot 10^{}\frac{\text{N}}{\text{C}}=$

$=2,8125\frac{\text{N}}{\text{C}}\approx 2,8\frac{\text{N}}{\text{C}}$

W takim wypadku otrzymujemy funkcję stałą, której postać (przy pominięciu podstawowych jednostek SI) jest następująca:

$E_{r=R}\left(r\right)=2,8$

W środku tej kuli nie ma ładunku, który wytwarzałby pole elektryczne. Oznacza to, że natężenie w punkcie będącym środkiem kuli jest zerowe:

$E_{r=0}\left(r\right)=0$

W przedziale od zera do odległości równej promieniowi kuli natężenie będzie się zmieniało w zależności od tej odległości. Ładunek elektryczny w jednorodnie naładowanej kuli w zależności od jej środka możemy przedstawić za pomocą funkcji gęstości objętościowej ładunku: 

$q=\rho V$

gdzie:

$q$ - wartość ładunku, 

$\rho$ - gęstość objętościowa ładunku, 

$V$ - objętość, w której rozłożony jest ładunek. 

W naszym przypadku objętość ta zmienia się w zależności od odległości od środka kuli i możemy przedstawić ją ogólnym wzorem na objętość kuli:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Całkowita objętość kuli będzie wynosiła:

$V_k=\frac{4}{3}\pi R^3$

Oznacza to, że całkowity ładunek kuli możemy przedstawić wzorem:

$Q=\rho V_k$

$Q=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

$Q=\frac{4}{3}\pi \rho R^3$

W takim wypadku otrzymamy, że natężenie wewnątrz kuli będzie zmieniało się zgodnie z funkcją:

$E_{r<R}\left(r\right)=\frac{kq}{r^2}$

$E_{r<R}\left(r\right)=\frac{k\rho V}{r^2}$

$E_{r<R}\left(r\right)=\frac{k\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^{\cancel{3}}}{\cancel{r^2}}$

$E_{r<R}\left(r\right)=\frac{4}{3}\pi \rho kr$

$E_{r<R}\left(r\right)=k\cdot \frac{4}{3}\pi \rho \cdot \frac{R^3}{R^3}\cdot r$

$E_{r<R}\left(r\right)=\frac{k\cdot \frac{4}{3}\pi \rho R^3}{R^3}\cdot r$

$E_{r<R}\left(r\right)=\frac{kQ}{R^3}\cdot r$

Zauważmy, że otrzymaliśmy dla tego przedziału funkcję liniową.  Obliczmy współczynnik przed argumentem tej funkcji:

$\frac{kQ}{R^3}=\frac{9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^{\cancel{2}}}\cdot 2\cdot 10^{-14}\cancel{\text{C}}}{{\left(8\cdot 10^{-3}\text{m}\right)}^3}=$

$=\frac{18\cdot 10^{-5}\text{N}\cdot \frac{\cancel{{\text{m}}^2}}{\text{C}}}{512\cdot 10^{-9}{\text{m}}^{\cancel{3}}}=0,03515625\cdot 10^4\frac{\text{N}}{\text{m}\cdot \text{C}}=$

$=351,5625\frac{\text{N}}{\text{m}\cdot \text{C}}\approx 351,6\frac{\text{N}}{\text{m}\cdot \text{C}}$

Zatem funkcja liniowa dla tego przedziału (przy pominięciu podstawowych jednostek SI) ma postać:

$E_{r<R}\left(r\right)=351,6\cdot r$

Na końcu rozważamy wartość natężenia pola w odległości większej niż promień kuli. Otrzymujemy wówczas zależność:

$E_{r>R}\left(r\right)=\frac{kQ}{r^2}$

Wiemy, że:

$kQ=0,00018\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$

Zatem na tym przedziale funkcja wymierna ma postać:

$E_{r<R}\left(r\right)=\frac{0,00018}{r^2}$

Mamy zatem funkcję:

$E\left(r\right)=\{\begin{array}{l}0\text{dla}r=0\\ 351,6r\text{dla}r<R\\ 2,8\text{dla}r=R\\ \frac{0,00018}{r^2}\text{dla}r>R\end{array}$

Wykonajmy wykres:

 

$\mathrm{3.3.}$  

Przyjmujemy, że ładunek pyłku jest równy:

$q={10}^{-16}\text{C}$  

Pyłek znajduje się w odległości 20 mm od środka kulki, czyli:

$r=20\text{mm}=0,02\text{m}=2\cdot {10}^{-2}\text{m}$  

Energię potencjalną dwóch ładunków w polu elektrostatycznym przedstawiamy wzorem:

$E_{\text{pot}}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r}$  

gdzie $E_{\text{pot}}$  jest energią potencjalną, $q_1$  i $q_2$  są wartościami ładunków znajdujących się w odległości $r$  od siebie.

Zatem energia potencjalna układu dla naszego przypadku ma postać:

$E_{\text{pot}}=\frac{kQq}{r}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{\text{pot}}=\frac{9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot \cancel{2}\cdot {10}^{-14}\text{C}\cdot {10}^{-16}\text{C}}{\cancel{2}\cdot {10}^{-2}\text{m}}=$  

$==9\cdot {10}^{-19}\text{N}\cdot \text{m}=9\cdot {10}^{-19}\text{J}$  

 

$\text{3.4}$  

Przyjmujemy, że ładunek pyłku jest równy:

$q={10}^{-16}\text{C}$  

Pyłek znajduje się w odległości 20 mm od środka kulki, czyli:

$r=20\text{mm}=0,02\text{m}=2\cdot {10}^{-2}\text{m}$  

Korzystając z prawa Coulomba wiemy, że siła oddziaływania pomiędzy dwoma naładowanymi ciałami wynosi:

$F_C=k\cdot \frac{\left|q_1\cdot q_2\right|}{r^2}$  

gdzie $k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$  jest współczynnikiem proporcjonalności, $F_C$  jest wartością siły oddziaływania pomiędzy ładunkami $q_1$  i $q_2$  znajdującymi się w odległości $r$  od siebie.

Zatem w naszym przypadku dla pyłki i kulki otrzymujemy:

$F_C=\frac{kQq}{r^2}$  

Wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_g=\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r^2}$  

gdzie $G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  jest stałą grawitacji, $m_1$  i $m_2$  są oddziałującymi ze sobą masami, $r$  jest odległością pomiędzy środkami tych mas.

Dla pyłki i kulki otrzymujemy:

$F_g=\frac{GMm}{r^2}$  

gdzie $M$  jest masą kulki, $m$  jest masą pyłku.

Porównujemy obie siły i otrzymujemy, że masa pyłku powinna spełniać zależność:

$F_g=F_C$  

$\frac{GMm}{\cancel{r^2}}=\frac{kQq}{\cancel{r^2}}$  

$GMm=kQq\mid :GM$  

$m=\frac{kQq}{GM}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$m=\frac{9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot 2\cdot {10}^{-14}\text{C}\cdot {10}^{-16}\text{C}}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 0,01\text{kg}}=$  

$=\frac{18\cdot {10}^{-21}\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{0,0667\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}\approx 269,865\cdot {10}^{-10}\text{kg}\approx$  

$\approx 27\cdot {10}^{-9}\text{kg}=27\cdot {10}^{-6}\text{g}=27\text{μg}$