Ilość ciepła przepływająca w czasie Δt przez ścianę...- Zadanie Zadanie 250.: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

W zadaniu podany mamy wzór:

$Δ Q = k \cdot \frac{S}{d} \cdot Δ t \cdot Δ T$

gdzie ΔQ jest ilością ciepła przepływającą w czasie Δt przez ścianę o grubości d i powierzchni S, gdy różnica temperatur między powierzchniami ściany jest równa ΔT, k jest współczynnikiem cieplnego przewodnictwa właściwego, zależnym od materiału ściany. Ilość ciepła, która przepłynie przez pierwszą ścianę będzie miała postać:

$Δ Q_{1} = k_{1} \cdot \frac{S _{1}}{d _{1}} \cdot Δ t_{1} \cdot Δ T_{1}$

Ilość ciepła, która przepłynie przez drugą ścianę będzie miała postać:

$Δ Q_{2} = k_{2} \cdot \frac{S _{2}}{d _{2}} \cdot Δ t_{2} \cdot Δ T_{2}$

W zadaniu podane mamy że dla naszego przypadku zmiana temperatur powinna wynosić:

$Δ T = T_{1} - T_{3}$

Z tego wynika, że możemy założyć:

$T_{1} > T_{3}$

Wyobraźmy sobie, że pomiędzy ścianami mamy jeszcze jedną temperaturę T₂. Będzie ona spełniała zależność:

$T_{1} > T_{2} > T_{3}$

Wówczas zmiana temperatury dla pierwszej ściany będzie miała postać:

$Δ T_{1} = T_{1} - T_{2}$

Zmiana temperatury dla drugiej ściany będzie miała postać:

$Δ T_{2} = T_{2} - T_{3}$

Z zadania wynika również, że ściany mają różne współczynniki cieplnego przewodnictwa oraz grubości. Mają natomiast takie same pola powierzchni, ciepło przepływa przez nie w tym samym czasie i w tej samej ilości:

$S_{1} = S_{2}$

$Δ t_{1} = Δ t_{2}$

$Δ Q_{1} = Δ Q_{2}$

Wyznaczmy temperaturę T₂ w przypadku ciepła przepływającego przez pierwszą ścianę:

$Δ Q_{1} = k_{1} \cdot \frac{S _{1}}{d _{1}} \cdot Δ t_{1} \cdot Δ T_{1}$

$Δ Q = k_{1} \cdot \frac{S}{d _{1}} \cdot Δ t \cdot (T_{1} - T_{2}) ∣ \cdot \frac{d _{1}}{S}$

$Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} = k_{1} \cdot Δ t \cdot (T_{1} - T_{2}) ∣ : (k_{1} \cdot Δ t_{1})$

$Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} \cdot \frac{1}{k _{1} \cdot Δ t} = T_{1} - T_{2} ∣ + T_{2}$

$T_{2} + Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} \cdot \frac{1}{k _{1} \cdot Δ t} = T_{1} ∣ - Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} \cdot \frac{1}{k _{1} \cdot Δ t}$

$T_{2} = T_{1} - Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} \cdot \frac{1}{k _{1} \cdot Δ t}$

Wyznaczmy temperature T₂ w przypadku ciepła przepływającego przez drugą ścianę:

$Δ Q_{2} = k_{2} \cdot \frac{S _{2}}{d _{2}} \cdot Δ t_{2} \cdot Δ T_{2}$

$Δ Q = k_{2} \cdot \frac{S}{d _{2}} \cdot Δ t \cdot (T_{2} - T_{3}) ∣ \cdot \frac{d _{2}}{S}$

$Δ Q \cdot \frac{d _{2}}{S} = k_{2} \cdot Δ t \cdot (T_{2} - T_{3}) ∣ : (k_{2} \cdot Δ t_{2})$

$Δ Q \cdot \frac{d _{2}}{S} \cdot \frac{1}{k _{2} \cdot Δ t} = T_{2} - T_{3} ∣ + T_{3}$

$T_{3} + Δ Q \cdot \frac{d _{2}}{S} \cdot \frac{1}{k _{2} \cdot Δ t} = T_{2}$

$T_{2} = T_{3} + Δ Q \cdot \frac{d _{2}}{S} \cdot \frac{1}{k _{2} \cdot Δ t}$

Otrzymaliśmy dwa wzory na temperaturę T₂. Porównajmy je ze sobą i spróbujmy wyznaczyć szukaną zależność:

$T_{1} - Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} \cdot \frac{1}{k _{1} \cdot Δ t} = T_{3} + Δ Q \cdot \frac{d _{2}}{S} \cdot \frac{1}{k _{2} \cdot Δ t} ∣ - T_{3} + Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} \cdot \frac{1}{k _{1} \cdot Δ t}$

$T_{1} - T_{3} = Δ Q \cdot \frac{d _{2}}{S} \cdot \frac{1}{k _{2} \cdot Δ t} + Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{S} \cdot \frac{1}{k _{1} \cdot Δ t}$

$T_{1} - T_{3} = Δ Q \cdot \frac{d _{1}}{k _{1}} \cdot \frac{1}{S \cdot Δ t} + Δ Q \cdot \frac{d _{2}}{k _{2}} \cdot \frac{1}{S \cdot Δ t}$

Wiemy, że:

$Δ T = T_{1} - T_{3}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$Δ T = Δ \frac{Q}{S \cdot Δ t} \cdot (\frac{d _{1}}{k _{1}} + \frac{d _{2}}{k _{2}}) ∣ \cdot S \cdot Δ t$

$S \cdot Δ t \cdot Δ T = Δ Q \cdot (\frac{d _{1}}{k _{1}} + \frac{d _{2}}{k _{2}})$

$Δ Q \cdot (\frac{d _{1}}{k _{1}} + \frac{d _{2}}{k _{2}}) = S \cdot Δ t \cdot Δ T$

Co należało wykazać.

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

1.9. Termodynamika i właściwości materii

Premium

11:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.13. Fale

Premium

14:56

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.5. Hydrostatyka

Premium

11:43

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.