Dane:

$k=7\frac{\text{N}}{\text{m}}$  

$m=500\text{g}=0,5\text{kg}$  

$l=0,5\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$1.$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że uczniowi nie uda się zrealizować pomysłu. Uczeń chce zbudować dwa wahadła - sprężynowe i matematyczne. Wahadło sprężynowe ma drgać z takim samym okresem, jak wahadło matematyczne.

Budując wahadło sprężynowe uczeń może skorzystać ze sprężyny o współczynniku sprężystości $k$ oraz ciężarka o masie $m$. W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru:

$T_s=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

gdzie:

$T_s$ - okres drgań sprężynowego, 

$\pi$ - liczba π,

$m$ - masa zwieszona na sprężynie, 

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny. 

Następnie z nici i drugiego ciężarka uczeń może zbudować wahadło matematyczne. Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem:

$T_m=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

gdzie:

$T_m$ - okres drgań wahadła matematycznego,

$\pi$ - liczba π (pi),

$l$ - długość wahadła,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Porównując wzory okresy drgań wahadeł możemy wyznaczyć długość, jaką powinno mieć wahadło matematyczne. W ten sposób sprawdzimy, czy uczeń dysponuje dostatecznie długim sznurkiem:

$T_m=T_s$

$\cancel{2\pi }\sqrt{\frac{l}{g}}=\cancel{2\pi }\sqrt{\frac{m}{k}}$

$\sqrt{\frac{l}{g}}=\sqrt{\frac{m}{k}}|{}^2$

$\frac{l}{g}=\frac{m}{k}|\cdot g$

$l=\frac{mg}{k}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l=\frac{0,5\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{7\frac{\text{N}}{\text{m}}}=\frac{5\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{7\frac{\text{N}}{\text{m}}}=$

$=\frac{5\cancel{\text{N}}}{7\frac{\cancel{\text{N}}}{\text{m}}}\approx 0,71\text{m}$

Zauważmy, że uczeń ma zbyt krótką nić, żeby zbudować wahadło matematyczne o takim samym okresie drgań jak wahadło sprężynowe. Dlatego nie uda mu się zrealizować tego pomysłu. 

 

$2.$  

Uczeń otrzymał dodatkowy ciężarek o masie $m$, który może zawiesić razem z jednym z poprzednich ciężarków. Ponieważ okres drgań wahadła matematycznie nie zależy od masy ciała zawieszonego na nici to tylko zawieszenie dodatkowej masy na  sprężynie może coś zmienić w układzie. 

Zauważmy, że wówczas okres drgań wahadła sprężynowego wynosiłby:

$T_s^{\prime }=2\pi \sqrt{\frac{m+m}{k}}$

$T_s^{\prime }=2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$

Okres drgań wahadła matematycznego nie zmienia się:

$T_m=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Aby okresy były równe długość nici w tym przypadku powinna wynosić:

$T_m=T_s^{\prime }$

$\cancel{2\pi }\sqrt{\frac{l}{g}}=\cancel{2\pi }\sqrt{\frac{2m}{k}}|{}^2$

$\frac{l}{g}=\frac{2m}{k}|\cdot g$

$l=\frac{2mg}{k}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l=\frac{2\cdot 0,5\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{7\frac{\text{N}}{\text{m}}}=\frac{10\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{7\frac{\text{N}}{\text{m}}}=$

$=\frac{10\cancel{\text{N}}}{7\frac{\cancel{\text{N}}}{\text{m}}}\approx 1,43\text{m}$

Oznacza to, że zbudowanie wahadła matematycznego o takim samym okresie drgań jak wahadło sprężynowe nadal jest niemożliwe.