Dane:

$z=4$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że długość fali określić możemy związkiem:

$z=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}-1$

gdzie:

$z$ - względna zmiana długości fali,

$v$ - wartość prędkości oddalania się galaktyki od Ziemi,

$c$ - wartość prędkości światła w próżni.

Wyznaczamy wzór na wartość prędkości oddalania się galaktyk:

$z=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}-1\mid +1$  

$z+1=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}{\mid }^2$  

${\left(z+1\right)}^2=\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}$  

${\left(z+1\right)}^2=\frac{\left(c+v\right)\cdot \frac{1}{c}}{\left(c-v\right)\cdot \frac{1}{c}}$  

${\left(z+1\right)}^2=\frac{c+v}{c-v}\mid \cdot \left(c-v\right)$  

${\left(z+1\right)}^2\left(c-v\right)=c+v$  

${\left(z+1\right)}^{2}c-{\left(z+1\right)}^{2}v=c+v\mid +{\left(z+1\right)}^{2}v$  

${\left(z+1\right)}^{2}c={\left(z+1\right)}^{2}v+c+v\mid -c$  

${\left(z+1\right)}^{2}c-c={\left(z+1\right)}^{2}v+v$  

$\left({\left(z+1\right)}^2-1\right)c=\left({\left(z+1\right)}^2+1\right)v\mid :\left({\left(z+1\right)}^2+1\right)$  

$\frac{\left({\left(z+1\right)}^2-1\right)c}{{\left(z+1\right)}^2+1}=v$  

$v=\frac{{\left(z+1\right)}^2-1}{{\left(z+1\right)}^2+1}c$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\frac{{\left(4+1\right)}^2-1}{{\left(4+1\right)}^2+1}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\frac{5^2-1}{5^2+1}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$  

$=\frac{25-1}{25+1}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\frac{24}{26}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx$

$\approx 0,923\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=2,769\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx 2,77\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Prędkość oddalania się galaktyk ma wartość około 2,77⋅10⁸ m/s.