$1.$  

 Uzasadnienie:

Gwiazdy krążą po orbitach wokół wspólnego środka masy. Środek masy układu dwóch ciał leży na odcinku łączącym ich środki, co oznacza, że druga gwiazda znajduje się po prawej stronie punktu O. Zauważmy, że środek masy O układu musi znajdować się bliżej gwiazdy $M$, ponieważ ma ona większą masę, a więc gwiazda o mniejszej masie $m$ musi znajdować się na orbicie o większym promieniu.

 Odpowiedź:

Zaznaczamy gwiazdę na rysunku:

 

$2.$  

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na odległość cięższej gwiazdy od środka masy układu, zależnego od zmiennych $d$, $M$ i $m$.

Narysujmy ten układ na osi x, tak żeby masa M znajdowała się w punkcie 0 tej osi:

Środek ciężkości układu podwójnego wyznaczymy korzystając z wzoru:

$x_s=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}$  

gdzie:

$x_s$ - współrzędna środka masy układu,

$m_1,m_2$ - masy ciał,

$x_1,x_2$ - odległości ciał od wybranego punktu odniesienia, którym w naszym przypadku jest gwiazda o masie $M$.

Z rysunku pomocniczego odczytujemy:

$x_1=0$   

$x_2=d$  

$x_s=x$  

$m_1=M$  

$m_2=m$  

Z tego wynika, że:

$x=\frac{M\cdot 0+m\cdot d}{M+m}$  

$x=\frac{m\cdot d}{M+m}$  

gdzie:

$x$ - odległość cięższej gwiazdy od środka masy układu podwójnego,

$m$ - masa lżejszej gwiazdy,

$M$ - masa cięższej gwiazdy,

$d$ - odległość między gwiazdami.

 

$3.$  

1. Zdanie jest PRAWDZIWE.

Wartość siły dośrodkowej działającej na większą gwiazdę przedstawimy wzorem:

$F_M=\frac{M{v}_M^2}{r_M}$

gdzie:

$F_M$ - wartość siły dośrodkowej działającej na większą gwiazdę,

$M$ - masa większej gwiazdy,

$v_M$ - wartość prędkości liniowej większej gwiazdy,

$r_M$ - promień orbity większej gwiazdy.

Wartość prędkości liniowej łączy z prędkością kątową zależność:

$v_M=\omega r_M$

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej większej gwiazdy.

Zwróćmy uwagę, że cechą charakterystyczna układów podwójnych jest fakt, że okresy obiegu gwiazd wokół środka masy są takie same. Skoro okresy obiegu są jednakowe, to również wartości prędkości kątowych obu gwiazd są takie same. Oznacza to, że $\omega$ jest jednocześnie wartością prędkości kątowej mniejszej gwiazdy.

Na podstawie powyższych wzorów możemy zapisać:

$F_M=\frac{M{v}_M^2}{r_M}$

$F_M=\frac{M{\left(\omega r_M\right)}^2}{r_M}$

$F_M=\frac{M{\omega }^2{r}_M^{\cancel{2}}}{\cancel{r_M}}$

$F_M=M{\omega }^2{r}_M$

 Korzystając z rysunku wykonanego w poprzednim podpunkcie możemy zapisać:

$r_M=x$

gdzie:

$x$ - odległość większej gwiazdy od środka masy układu.

Zatem:

$F_M=M{\omega }^{2}x$

Analogicznie możemy zapisać wzór na wartość siły dośrodkowej działającej na mniejszą gwiazdę:

$F_m=m{\omega }^2{r}_m$

gdzie:

$F_m$ - wartość siły dośrodkowej działającej na mniejszą gwiazdę,

$m$ - masa mniejszej gwiazdy,

$r_m$ - promień orbity mniejszej gwiazdy.

Z rysunku odczytujemy:

$r_m=d-x$

gdzie:

$d$ - odległość między gwiazdami.

Zatem:

$F_m=m{\omega }^2{r}_m$

$F_m=m{\omega }^2\left(d-x\right)$

Z podpunktu drugiego wiemy, że:

$x=\frac{md}{M+m}$

Wyznaczamy wzór na masę mniejszej gwiazdy:

$x=\frac{md}{M+m}|\cdot (M+m)$

$x(M+m)=md$

$xM+xm=md|-xm$

$md-mx=xM$

$m\left(d-x\right)=xM|:\left(d-x\right)$

$m=\frac{Mx}{d-x}$

Wstawiamy wyrażenie do wzoru na wartość siły dośrodkowej działającej na mniejszą gwiazdę:

$F_m=m{\omega }^2\left(d-x\right)$

$F_m=\frac{Mx}{\cancel{d-x}}\cdot {\omega }^2\cancel{\left(d-x\right)}$

$F_m=M{\omega }^{2}x$

Otrzymaliśmy zatem, że:

$F_M=F_m$

2. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ wartość prędkości liniowej gwiazdy wyrażamy wzorem:

$v=\omega r$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej,

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$r$ - promień orbity.

Wartości prędkości kątowych gwiazd są takie same, ale ich orbity mają różne promienie. Oznacza to, że gwiazda o mniejszej masie, która krąży po orbicie o większym promieniu, będzie poruszać się z prędkością liniową o większej wartości.

3. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ cechą charakterystyczna układów podwójnych jest fakt, że okresy obiegu gwiazd wokół środka masy są takie same. Jeżeli okresy obiegu są takie same, to również częstotliwości są jednakowe.