$1.$

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu zależności wysokości $h$, na jaką wznosi się piłka po odbiciu od podłogi od wysokości $H$, z jakiej została upuszczona. Należy pamiętać, aby nanieść na wykres słupki błędów pomiaru wysokości $h$ (czyli słupki pionowe) oraz nie łączyć punktów linią łamaną, tylko prostą, która najlepiej odzwierciedla położenia punktów. 

Wykonajmy wykres:

Korzystając ze sporządzonego wykresu oraz naniesionej prostej wyznaczymy jaka część energii mechanicznej jest rozpraszana podczas odbicia piłeczki. Wykres jest funkcją liniową, więc wyraża się wzorem:

$y=ax+b$  

gdzie:

$y$ - wartość funkcji,

$x$ - argument funkcji,

$a$ - współczynnik kierunkowy, określający kąt nachylenia prostej,

$b$ - wyraz wolny.

Wyznaczmy wzór prostej dla naszego przypadku. Wiemy, że zmiana wysokości ma związek z utratą energii mechanicznej piłki. W momencie upuszczenia energia kinetyczna piłeczki jest zerowa, a energię potencjalną wyrazimy wzorem:

$E_{p1}=mgH$  

gdzie:

$E_{p1}$ - energia potencjalna piłki w momencie upuszczenia,

$m$ - masa piłki,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$H$ - wysokość, z jakiej upuszczono piłkę.

Natomiast energia potencjalna piłeczki, która wzniesie się na wysokość $h$  będzie miała postać:

$E_{p2}=mgh$  

gdzie:

$E_{p2}$ - energia potencjalna piłki w momencie zatrzymania się po odbiciu,

$h$ - wysokość, na jaką wzniosła się piłka.

Korzystając z zasady zachowania energii możemy zapisać, że:

$E_{p2}=E_{p1}-E$  

gdzie:

$E$ - energia, która uległa rozproszeniu.

Możemy zatem zapisać, że energia wytracona przez piłeczkę będzie miała postać:

$E_{p2}=E_{p1}-E\mid +E-E_{p2}$  

$E=E_{p1}-E_{p2}$  

$E=mgH-mgh$  

$E=mg\left(H-h\right)$   

Aby określić, jaka część energii została rozproszona należy podzielić energię utraconą przez początkową:

$\delta =\frac{E}{E_{p1}}$  

gdzie:

$\delta$ - część energii, która uległa rozproszeniu.

Możemy zatem zapisać:

$\delta =\frac{mg\left(H-h\right)}{mgH}$  

$\delta =\frac{H-h}{H}$

Aby otrzymać równanie prostej, która opisuje zależność wysokości $h$ od wysokości upuszczenia $H$, musimy przekształcić powyższy wzór:

$\delta =\frac{H-h}{H}\mid \cdot H$  

$H\delta =H-h\mid +h-H\delta$   

$h=H-H\delta$  

$h=H\left(1-\delta \right)$  

Porównując powyższe równanie z wzorem funkcji liniowej możemy zapisać, że:

$y=h$  

$x=H$  

$a=1-\delta$     

Aby obliczyć wartość $\delta$ musimy więc znać współczynnik kierunkowy prostej z naszego wykresu. Wybierzmy dwa punkty z wykresu i obliczmy współczynnik kierunkowy funkcji:      

$x_1=50\mathrm{cm}\text{ i }{y}_1=42\mathrm{cm}$  

$x_2=200\mathrm{cm}\text{ i }{y}_2=158\mathrm{cm}$  

Rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}{y}_1=a{x}_1+b\\ y_2=a{x}_2+b\end{array}$    

$\{\begin{array}{c}42\mathrm{cm}=a\cdot 50\mathrm{cm}+b\mid \cdot \left(-1\right)\\ 158\mathrm{cm}=a\cdot 200\mathrm{cm}+b\end{array}$    

$\frac{+\{\begin{array}{c}-42\mathrm{cm}=-a\cdot 50\mathrm{cm}-b\\ 158\mathrm{cm}=a\cdot 200\mathrm{cm}+b\end{array}}{116\mathrm{cm}=a\cdot 150\mathrm{cm}}$    

Z tego wynika, że:

$a\cdot 150\mathrm{cm}=116\mathrm{cm}\mid :150\mathrm{cm}$  

$a\approx 0,773$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$a=1-\delta \mid +\delta -a$  

$\delta =1-a$  

$\delta =1-0,773$  

$\delta =0,227$  

$\delta \approx 0,2$  

$\delta \approx 20\%$  

 

$2.$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że straty energii przy upuszczeniu piłki z wysokości 50 cm oraz 200 cm mieszczą się w podanych przedziałach. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że procent, o jaki zmieni się energia możemy zapisać wzorem: 

$\delta =\frac{H-h}{H}$  

gdzie:

$\delta$ - część energii, która uległa rozproszeniu,

$H$ - wysokość, z jakiej została upuszczona piłka,

$h$ - wysokość, na jaką wzniosła się piłka.

Do obliczenia minimalnej i maksymalnej straty energii skorzystamy z wartości niepewności pomiarowych. Wówczas:

${\delta }_{\min }=\frac{H-\left(h+\Delta h\right)}{H}$

gdzie:

${\delta }_{\min }$ - minimalna strata energii,

$\Delta h$ - niepewność pomiarowa pomiaru wysokości wzniesienia się piłki po odbiciu.

Oraz:

${\delta }_{\max }=\frac{H-\left(h-\Delta h\right)}{H}$

gdzie:

${\delta }_{\max }$ - maksymalna strata energii.

W tabeli podane mamy, że:

$\text{dla }{H}_1=50\mathrm{cm}\text{ mamy: }{h}_2=42\mathrm{cm}\text{ i }\Delta h_2=3\mathrm{cm}$  

Wstawiamy wartości liczbowe dla tego przypadku do podanych powyżej wzorów:

${\delta }_{1\text{min}}=\frac{50\mathrm{cm}-\left(42\mathrm{cm}+3\mathrm{cm}\right)}{50\mathrm{cm}}=\frac{50\mathrm{cm}-45\mathrm{cm}}{50\mathrm{cm}}=$

$=\frac{5\mathrm{cm}}{50\mathrm{cm}}=0,1=10\%$

Oraz:

${\delta }_{1\max }=\frac{50\mathrm{cm}-\left(42\mathrm{cm}-3\mathrm{cm}\right)}{50\mathrm{cm}}=\frac{50\mathrm{cm}-39\mathrm{cm}}{50\mathrm{cm}}=$

$=\frac{11\mathrm{cm}}{50\mathrm{cm}}=0,22=22\%$

Z tego wynika, że:

$10\%<{\delta }_1<22\%$  

Co należało udowodnić.

 

Dla większej wysokości upuszczenia piłki podane mamy, że:

$\text{dla }{H}_2=200\mathrm{cm}\text{ mamy: }{h}_2=158\mathrm{cm}\text{ i }\Delta h_2=6\mathrm{cm}$  

Wstawiamy wartości liczbowe dla tego przypadku:

${\delta }_{2\text{min}}=\frac{200\mathrm{cm}-\left(158\mathrm{cm}+6\mathrm{cm}\right)}{200\mathrm{cm}}=\frac{200\mathrm{cm}-164\mathrm{cm}}{200\mathrm{cm}}=$

$=\frac{36\mathrm{cm}}{200\mathrm{cm}}=0,18=18\%$

Oraz:

${\delta }_{2\max }=\frac{200\mathrm{cm}-\left(158\mathrm{cm}-6\mathrm{cm}\right)}{200\mathrm{cm}}=\frac{200\mathrm{cm}-152\mathrm{cm}}{200\mathrm{cm}}=$

$=\frac{48\mathrm{cm}}{200\mathrm{cm}}=0,24=24\%$

Z tego wynika, że:

$18\%<{\delta }_1<24\%$  

Co należało udowodnić.