Wiązka światła białego ulega...- Zadanie Zadanie 485.: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym celem jest ułożenie ogniskowych dla różnych barw światła w kolejności od najmniejszej do największej. Wiemy, że zjawisko dyspersji fali polega na tym, że fale załamują się różnie w zależności od ich długości fali. Co więcej, fale o większej długości mają mniejszy współczynnik załamania niż krótsze fale. Przyjmijmy, że $λ_{n}$ to długość światła niebieskiego, $λ_{\overset{z}{˙}}$ długość światła żółtego i $λ_{c}$ długość światła czerwonego. Układając je od najdłuższej do najmniejszej:

$λ_{c} > λ_{\overset{z}{˙}} > λ_{n}$

Tak jak wspomnieliśmy, współczynnik załamania jest odwrotnie proporcjonalny do długości fali zatem:

$n_{c} < n_{\overset{z}{˙}} < n_{n}$

Skoro znamy już zależność między współczynnikami załamania dla różnych barw światła, musimy określić, jak są one związane z ogniskową soczewki. Wiemy, że równanie materiałowe soczewki ma postać:

$\frac{1}{f} = (\frac{n}{n _{0}} - 1) (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$n$ - współczynnik załamania dla soczewki,

$n_{0}$ - współczynnik załamania dla otoczenia,

$R_{1}, R_{2}$ - promienie krzywizn soczewki.

Wiemy, że otoczeniem w naszym zadaniu jest powietrze, więc współczynnik załamania dla otoczenia to współczynnik załamania powietrza, którego wartość wynosi 1. W związku z tym możemy zapisać:

$\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

Co więcej, wszystkie fale świetlne poruszają się w tej samej soczewce, więc zawartość nawiasu uwzględniająca promienie krzywizn soczewki możemy potraktować jako stałą. Przyjmijmy, że oznaczamy to stałą jako $a$ i jest ona daną zależnością:

$a = (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

Podstawiając to do równania materiałowego soczewki otrzymujemy:

$\frac{1}{f} = a (n - 1)$

Odwracając obie strony równania:

$f = \frac{1}{a ( n - 1 )}$

Zatem widzimy, że wartość ogniskowej jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika załamania. Korzystając z zależności między współczynnikami załamania dla różnych barw światła, możemy zapisać:

$f_{c} > f_{\overset{z}{˙}} > f_{n}$