Rurkę początkowo ustawiono otworem...- Zadanie Zadanie 285.: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$h = 20 cm = 0, 2 m$

$l_{1} = 60 cm = 0, 6 m$

$l_{2} = 76 cm = 0, 76 m$

$p_{a} = 1, 01 \cdot 1 0^{5} Pa$

$d_{r} = 13600 \frac{kg}{m ^{3}}$

$g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$

$1.$

Naszym zadaniem jest wykazanie, że dane podane w zadaniu dane są zgodne z twierdzeniem:

Temperatura powietrza w rurce była jednakowa w pozycjach 1 i 2.

Załóżmy, że pole przekroju poprzecznego rurki wynosi $S$ . Masa rtęci i powietrza nie zmienia się. Ciśnienie powietrza wynosi $p_{0}$ . Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p = d g h$

gdzie:

$p$ - ciśnienie hydrostatyczne,

$d$ - gęstość cieczy wywierającej parcie na dno naczynia,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość słupa cieczy, która wywiera ciśnienie hydrostatyczne na rozważanej głębokości.

Ciśnienie wywierane przez rtęć w pozycji pionowej ma postać:

$p_{r} = d_{r} g h$

gdzie:

$p_{r}$ - ciśnienie wywierane przez rtęć,

$d_{r}$ - gęstość rtęci.

Wówczas całkowite ciśnienie wywierane na dno naczynia w pozycji pionowej wynosi:

$p_{pion} = p_{a} + p_{r}$

gdzie:

$p_{pion}$ - ciśnienie wywierane na dno naczynia w pozycji pionowej,

$p_{a}$ - ciśnienie atmosferyczne.

Otrzymamy wówczas:

$p_{pion} = p_{a} + d_{r} g h$

Ciśnienie wywierane na dno naczynia w pozycji poziomej jest ciśnieniem atmosferycznym:

$p_{poziom} = p_{a}$

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Objętość powietrza w pierwszym przypadku możemy przedstawić wzorem:

$V_{1} = l_{1} S$

gdzie:

$l_{1}$ - długość słupa powietrza w położeniu pionowym rurki,

Objętość powietrza w drugim przypadku możemy przedstawić wzorem:

$V_{2} = l_{2} S$

gdzie:

$l_{2}$ - długość słupa powietrza w położeniu poziomym rurki.

Korzystając z równania Clapeyrona wyznaczmy iloczyn liczby moli i stałej gazowej dla położenia pionowego rurki:

$n R T_{1} = p_{pion} V_{1} ∣ : T_{1}$

$n R = \frac{p _{pion} V _{1}}{T _{1}}$

Korzystając z równania Clapeyrona wyznaczmy iloczyn liczby moli i stałej gazowej dla położenia poziomego rurki:

$n R T_{2} = p_{poziom} V_{2} ∣ : T_{2}$

$n R = \frac{p _{poziom} V _{2}}{T _{2}}$

Porównajmy te zależności i wyznaczmy stosunek temperatury $T_{1}$ do $T_{2}$ :

$\frac{p _{pion} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{poziom} V _{2}}{T _{2}}$

Wymnażamy równanie na krzyż:

$T_{1} p_{poziom} V_{2} = T_{2} p_{pion} V_{1} ∣ : T_{2} p_{poziom} V_{2}$

$\frac{T _{1}}{T _{2}} = \frac{p _{pion} V _{1}}{p _{poziom} V _{2}}$

$\frac{T _{1}}{T _{2}} = \frac{( p _{a} + d _{r} g h ) l _{1} S}{p _{a} l _{2} S}$

$\frac{T _{1}}{T _{2}} = \frac{( p _{a} + d _{r} g h ) l _{1}}{p _{a} l _{2}}$

$\frac{T _{1}}{T _{2}} = \frac{p _{a} + d _{r} g h}{p _{a}} \cdot \frac{l _{1}}{l _{2}}$

$\frac{T _{1}}{T _{2}} = (\frac{p _{a}}{p _{a}} + \frac{d _{r} g h}{p _{a}}) \cdot \frac{l _{1}}{l _{2}}$

$\frac{T _{1}}{T _{2}} = (1 + \frac{d _{r} g h}{p _{a}}) \cdot \frac{l _{1}}{l _{2}}$

Obliczmy iloraz temperatur:

$\frac{T _{1}}{T _{2}} = (1 + \frac{13 600 \frac{kg}{m ^{32}} \cdot 9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 0 , 2 m}{1 , 01 \cdot 1 0 ^{5} Pa}) \cdot \frac{0 , 6 m}{0 , 76 m} =$

$= (1 + \frac{26 683 , 2 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot \frac{1}{m ^{2}}}{101 000 \frac{N}{m ^{2}}}) \cdot \frac{15}{19} \approx$

$\approx (1 + \frac{26 683 , 2 N \cdot \frac{1}{m ^{2}}}{101 000 \frac{N}{m ^{2}}}) \cdot 0, 78947 \approx$

$\approx (1 + 0, 3632) \cdot 0, 78947 =$

$= 1, 3632 \cdot 0, 78947 =$

$= 1, 076205504 \approx 1$

Otrzymaliśmy, że:

$\frac{T _{1}}{T _{2}} \approx 1$

Wówczas:

$T_{1} \approx T_{2}$

Z tego wynika, że temperatura powietrza w rurce była jednakowa w pozycjach 1 i 2.

$2.$

Ciepło przepłynęło między powietrzem a otoczeniem (szkłem i rtęcią).

$3.$

Pierwsza zasada termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem:

$Δ U = W + Q$

gdzie:

$Δ U$ - zmiana energii wewnętrznej układu,

$W$ - praca wykonana nad układem przez siły zewnętrzne,

$Q$ - ciepło dostarczone do ciała (pobrane z otoczenia przez układ).

Przy szybkim sprężaniu i rozprężaniu ciepło nie zdąży zmienić swojej wartości. Sprężanie gazu związanie jest z wykonaniem nad gazem dodatniej pracy, natomiast rozprężanie gazu powoduje wykonanie nad gazem ujemnej pracy (pracę wykonuje gaz). Wykonanie pracy powoduje zmianę energii wewnętrznej (ponieważ $Q = const$ ), co prowadzi do zmiany temperatury.