UWAGA! Treść zadania jest sformułowana nieprecyzyjnie. Wynik otrzymany poniżej różni się od wyniku podanego w zbiorze zadań w wyniku przyjętych przybliżeń.

 

Dane:

$T=311\text{K}$  

$R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$  

Szukane:

$n=?$  

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest znalezienie średniej liczby moli gazu zawartego w cylindrze.

RÓWNANIE CLAPEYRONA Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona: $pV=nRT$ gdzie: $p$ - ciśnienie gazu,  $V$ - objętość gazu,  $n$ - liczba moli gazu,  $R$ - stała gazowa,  $T$ - temperatura gazu doskonałego.

Z wykresy wynika, że zależność ciśnienia od odwrotności objętości jest rosnącą funkcją liniową, którą zgodnie z równaniem Clapeyrona możemy przedstawić wzorem:

$p=nRT\cdot \frac{1}{V}$  

Zauważmy zatem, że liczbę moli możemy przedstawić wzorem:

$p=nRT\cdot \frac{1}{V}\mid :\left(RT\frac{1}{V}\right)$

$n=\frac{p}{\frac{1}{V}RT}$  

Początek wykresu mamy dla punktu (zgodnie z tabelą z wynikami pomiarowymi) o współrzędnych:

$\frac{1}{V_{10}}=\frac{1}{0,789{\text{dm}}^3}=\frac{1}{0,789\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3}\approx 1270\frac{1}{{\text{m}}^3}$   

$p_{10}=1995\text{hPa}=199500\text{Pa}$

Natomiast wykres kończy się w punkcie (ponownie współrzędne bierzemy z naszej tabeli pomiarowej):

$\frac{1}{V_1}=\frac{1}{0,397{\text{dm}}^3}=\frac{1}{0,397\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3}\approx 2520\frac{1}{{\text{m}}^3}$  

$p_1=3957\text{hPa}=395700\text{Pa}$

Zmiana ciśnienia w cylindrze wynosi:

$\Delta p=p_1-p_{10}$  

Natomiast zmiana odwrotności objętości gazu w cylindrze wynosi:

$\Delta \left(\frac{1}{V}\right)=\frac{1}{V_1}-\frac{1}{V_{10}}$  

Ponieważ mamy do czynienia z funkcją liniową to możemy zapisać, że średnia liczba moli gazu zawartego w cylindrze wynosi:

$n=\frac{\Delta p}{\Delta \left(\frac{1}{V}\right)RT}$  

$n=\frac{p_1-p_{10}}{\left(\frac{1}{V_1}-\frac{1}{V_{10}}\right)RT}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{395700\text{Pa}-199500\text{Pa}}{\left(2520\frac{1}{{\text{m}}^3}-1270\frac{1}{{\text{m}}^3}\right)\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 311\text{K}}=$  

$=\frac{196200\text{Pa}}{1250\frac{1}{{\text{m}}^3}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \cancel{\text{K}}}\cdot 311\cancel{\text{K}}}=\frac{196200\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}}{3230512,5\frac{\text{J}}{{\text{m}}^3\cdot \text{mol}}}=$  

$=\frac{196200\frac{\text{J}}{{\text{m}}^3}}{3230512,5\frac{\text{J}}{{\text{m}}^3\cdot \text{mol}}}\approx 0,0607334\text{mol}\approx 0,0607\text{mol}$  

Odpowiedź: Średnia liczba moli gazu w cylindrze wynosi $0,0607\text{mol}$.