Do wanny wlano V₁ = 15 l wody o temperaturze...- Zadanie 7.5.1.: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$V_{1} = 15 l$

$T_{1} = 20^{\circ} C = 293 K$

$T_{2} = 48^{\circ} C = 321 K$

$T_{k} = 36^{\circ} C = 309 K$

Szukane:

$V_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie objętości ciepłej wody jaką należy dolać do wody zimnej. W wannie znajduje się woda o niższej temperaturze, niż ta którą chcemy uzyskać w wannie. Dlatego woda ta pobiera ciepło, które jest oddawanie przez dolewaną wodę. Zapisujemy równanie bilansu cieplnego.

$Q_{oddane} = Q_{pobrane}$

gdzie:

$Q_{oddane}$ - ciepło oddane przez dolaną masę wody,

$Q_{pobrane}$ - ciepło pobrane przez masę wody w wannie.

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem:

$Q = m c Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,

$m$ - masa ciała,

$c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,

$Δ T$ - zmiana temperatury ciała.

W naszym przypadku zapisujemy:

▶ dla początkowej masy wody w wannie:

$Q_{pobrane} = m_{1} c_{w} Δ T_{1}$

gdzie:

$m_{1}$ - masa wody w wannie,

$c_{w}$ - ciepło właściwe wody,

$Δ T_{1}$ - zmiana temperatury wody w wannie.

▶ dla masy wody dolewanej:

$Q_{oddane} = m_{2} c_{w} Δ T_{2}$

gdzie:

$m_{2}$ - masa wody dolanej,

$Δ T_{1}$ - zmiana temperatury dolanej wody.

Możemy zapisać, że:

$m_{2} c_{w} Δ T_{2} = m_{1} c_{w} Δ T_{1} ∣ : c_{w}$

$m_{2} Δ T_{2} = m_{1} Δ T_{1}$

Masy wód możemy wyrazić poprzez ich objętości, korzystając z gęstości.

GĘSTOŚĆ

Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że:

$d = \frac{m}{V}$

gdzie:

$d$ - gęstość ciała,

$m$ - masa ciała,

$V$ - objętość ciała.

Stąd:

$m_{1} = d_{w} V_{1}$ oraz $m_{2} = d_{w} V_{2}$

gdzie:

$d_{w}$ - gęstość wody,

$V_{1}$ - objętość wody w wannie,

$V_{2}$ - objętość dolanej wody.

Nasze równanie przyjmuje postać:

$d_{w} V_{2} Δ T_{2} = d_{w} V_{1} Δ T_{1} ∣ : d_{w}$

$V_{2} Δ T_{2} = V_{1} Δ T_{1}$

Teraz wyrażamy zmiany temperatur dla obu objętości wody. Woda w wanience ogrzewa się do temperatury końcowej, a woda dolana ochładza do tej samej temperatury końcowej.

$Δ T_{1} = T_{k} - T_{1}$ oraz $Δ T_{2} = T_{2} - T_{k}$