UWAGA! W treści zadania napisano jedynie, że mamy do czynienia z równoległobokiem, ale nie podano wysokości ani kąta pomiędzy ramionami tego równoległobok. Natomiast z rozwiązania zadania podanego w zbiorze wynika, że ten równoległobok jest prostokątem. Przyjmijmy to założenie, aby rozwiązać to zadanie.

 

Dane:

$a=4\text{m}$

$b=8\text{m}$

$d_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

$d_s=1125\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

$h=0,8\text{m}$

$p_{atm}=1013\text{hPa}=1,013\cdot {10}^5\text{Pa}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$a)$  

 Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest wskazania spośród wykresów na rysunku poprawną zależność ciśnienia hydrostatycznego na dnie basenu od wysokości wody. Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p=dgh$ 

gdzie:

$p$ - ciśnienie hydrostatyczne, 

$d$ - gęstość cieczy wywierającej parcie na dno naczynia,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość słupa cieczy, która wywiera ciśnienie hydrostatyczne na rozważanej głębokości.

Zatem możemy zauważyć, że ciśnienie hydrostatyczne wzrasta z wysokością słupa cieczy. Na rysunku funkcjami rosnącymi są wykresy $3.$, $4.$ oraz $5$. Obliczmy ciśnienia hydrostatyczne dla znanej nam wysokości $h$ słupa wody i wody solankowej w basenie. Zatem na dnie basenu ciśnienia hydrostatyczne zwykłej wody oraz wody solankowej obliczymy, korzystając ze wzorów:

$p_w=d_{w}gh$  

gdzie:

$p_w$ - ciśnienie hydrostatyczne wody na dnie basenu,

$d_w$ - gęstość wody,

$h$ - wysokość wody w basenie.

$p_s=d_{s}gh$  

gdzie:

$p_s$ - ciśnienie hydrostatyczne solanki na dnie basenu.

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

$p_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,8\text{m }=$  

$=8000\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=8000\text{Pa }=8\text{kPa}$

$p_s=1125\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,8\text{m}=$  

$=9000\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=9000\text{Pa }=9\text{kPa}$

Zatem dla wysokości słupa cieczy $h=0,8\text{m}$ ciśnienie hydrostatyczne dla basenu ze zwykłą wodą wynosi $8\text{kPa}$, czemu odpowiada punkt na wykresie $5.$Natomiast ciśnienie hydrostatyczne dla basenu z solanką wynosi $9\text{kPa}$, czemu odpowiada punkt na wykresie $4.$

 Odpowiedź: 

Zależność ciśnienia hydrostatycznego na dnie basenu od wysokości wody przedstawia wykres $5.$, maksymalna wartość ciśnienia dlatego basenu wynosi $8\text{kPa}$. Zależność ciśnienia hydrostatycznego na dnie basenu od wysokości solanki przedstawia wykres $4.$, maksymalna wartość ciśnienia dla tego basenu wynosi $9\text{kPa}$.

 

$b)$  

Szukane:

$F_w=?$

$F_s=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości sił parcia wody i solanki na dno basenów. Wartość siły parcia przedstawiamy zależnością:

$F_p=pS$

gdzie:

$F_p$ - wartość siły parcia działającej na pewną powierzchnię,

$p$ - ciśnienie wywierane na tę powierzchnię, 

$S$ - pole tej powierzchni. 

Wyznaczmy całkowite ciśnienie wywierane na dna basenów. Całkowite ciśnienie działające na dno basenu to suma ciśnienia atmosferycznego oraz ciśnienia hydrostatycznego. Skorzystajmy z wyników poprzedniego podpunktu. Zatem całkowite ciśnienie na dnie basenu ze zwykłą wodą będzie wynosiło:

$p_{c.w}=p_w+p_{atm}$  

gdzie:

$p_{c.w}$ - całkowite ciśnienie wywierane na dno basenu z wodą,

$p_w$ - ciśnienie hydrostatyczne na dnie basenu z wodą,

$p_{atm}$ - ciśnienie atmosferyczne.

Natomiast dla basenu z solanką będzie ono wynosiło:

$p_{c.s}=p_s+p_{atm}$

gdzie:

$p_{c.s}$ - całkowite ciśnienie działające na dno basenu z solanką,

$p_s$ - ciśnienie hydrostatyczne na dnie basenu z solanką 

Wiemy, że dno basenu jest prostokątem o znanych podstawach. Pole prostokąta jest iloczynem jego boków. Zatem pole powierzchni dna basenu obliczymy ze wzoru:

$S=ab$  

gdzie:

$S$ - pole powierzchni dna basenu,

$a$ - krótszy bok dna basenu,

$b$ - dłuższy bok dna basenu.

Wówczas siła parcia wywierana na dno basenów przez zwykłą wodę ma wartość:

$F_w=p_{c.w}S$  

gdzie:

$F_w$ - wartość siła parcia działająca na dno basenu z wodą.

$F_w=\left(p_w+p_{atm}\right)ab$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_w=\left(8000\text{Pa }+1,013\cdot {10}^5\text{Pa}\right)\cdot 4\text{m }\cdot 8\text{m }=$  

$=\left(8\cdot {10}^3\text{Pa }+101,3\cdot {10}^3\text{Pa}\right)\cdot 32{\text{m}}^2=$  

$=109,3\cdot {10}^3\text{Pa }\cdot 32{\text{m}}^2=$  

$=3497,6\cdot {10}^3\text{Pa }\cdot {\text{m}}^2=3,4976\cdot {10}^6\text{N}=$

$=3,4976\text{MN }\approx 3,50\text{MN}$  

Natomiast siła parcia wywierana na dno basenów przez wodę solankową ma wartość:

$F_s=p_{c.s}S$  

gdzie:

$F_s$ - wartość siły parcia na dno basenu z solanką.

$F_s=\left(p_s+p_{atm}\right)ab$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_s=\left(9000\text{Pa}+1,013\cdot {10}^5\text{Pa}\right)\cdot 4\text{m}\cdot 8\text{m}=$  

$=\left(9\cdot {10}^3\text{Pa }+101,3\cdot {10}^3\text{Pa}\right)\cdot 32{\text{m}}^2=$  

$=110,3\cdot {10}^3\text{Pa }\cdot 32{\text{m}}^2=$  

$=3529,6\cdot {10}^3\text{Pa }\cdot {\text{m}}^2=$

$=3,5296\cdot {10}^6\text{N }=$

$=3,5296\text{MN }\approx 3,53\text{MN}$  

Odpowiedź: Wartość siły parcia na dno basenu z wodą wynosi $3,50\text{MN}$, a basenu z solanką wynosi $3,53\text{MN}$.