Naszym zadaniem jest zapisanie równania opisującego wychylenie ciężarka z położenia równowagi od czasu.

RUCH DRGAJĄCY - POŁOŻENIE Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością: $x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$ gdzie:  $x$ - wychylenie ciała po zadanym czasie,  $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   $\phi$ - faza ruchu.

Mamy ciężarek, który położony jest na gładkim stole. Działa na niego siła rozciągająca, która zgodnie z zadaniem co do wartości odpowiada jego ciężarowi.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

W maksymalnym wychyleniu siłę rozciągającą będzie równoważyła siła sprężystości. 

WARTOŚĆ SIŁY SPRĘŻYSTOŚCI Wartość siły sprężystości działającej na ciało drgające możemy przedstawić wzorem: $F=kx$ gdzie:  $F$ - wartość siły sprężystości, $k$ - współczynnik sprężystości układu,  $x$ - wychylenie ciała z położenia równowagi.

Dla maksymalnego wychylenia będzie miała postać:

$F_x=kA$

gdzie:

$A$ - maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi (amplituda). 

Ponieważ siły te równoważą się to amplitudę możemy przedstawić wzorem:

$F_x=F$

$kA=mg|:k$

$A=\frac{mg}{k}$

Następną wielkością, której nie znamy jest częstość drgań. 

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =\frac{2\pi }{T}$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $T$ - okres drgań.

Nie znamy okresu drgań, ale wiemy, że mamy do czynienia z masą zawieszoną na sprężynie. 

MASA NA SPRĘŻYNIE - OKRES DRGAŃ W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru: $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ gdzie: $T$ - okres drgań,  $\pi$ - liczba π, $m$ - masa zwieszona na sprężynie,  $k$ - współczynnik sprężystości sprężyny.

Zatem częstość będzie miała postać:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

$\omega =\frac{\cancel{2\pi }}{\cancel{2\pi }\sqrt{\frac{m}{k}}}$

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

W treści zadania mamy również informację, że dla $t=0$ wychylenie ciała jest maksymalne, co oznacza, że:

$x\left(0\right)=A$

Wówczas faza drgań ciężarka ma postać:

$x\left(0\right)=A\sin \left(\omega \cdot 0+\phi \right)$

$\cancel{A}=\cancel{A}\sin \left(0+\phi \right)$

$1=\sin \phi$

Zgodnie z tablicami trygonometrycznymi otrzymamy, że:

$\phi =\frac{\pi }{2}$

Wiemy również, że:

$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \alpha$

Zatem równanie opisujące wychylenie ciężarka od czasu będzie miało postać:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$

$x\left(t\right)=\frac{mg}{k}\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t+\frac{\pi }{2}\right)$

$x\left(t\right)=\frac{mg}{k}\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)$