Pociąg z wagonami o zawieszeniu opisanym powyżej jedzie...- Zadanie 9.5.6.: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 36 ton = 36 \cdot 10^{3} kg = 3, 6 \cdot 10^{4} kg$

$k_{1} = 0, 35 \cdot 10^{6} \frac{N}{m}$

$k_{2} = 3, 8 \cdot 10^{6} \frac{N}{m}$

$L = 25 m$

$v = 200 \frac{km}{h}$

Szukane:

Czy w zakresie dopuszczalnych prędkości może zajść zjawisko rezonansu?

Rozwiązanie:

Zjawisko rezonansu może zajść, gdy wartość prędkość, z jaką musi poruszać się wagon pociągu, będzie mniejsza od maksymalnej wartości prędkości pociągu na trasie:

$v_{w} < v$

Wyrażamy wartość prędkości wagonu.

SZYBKOŚĆ W RUCHU JEDNOSTAJNYM

W ruchu jednostajnym szybkość poruszającego się ciała możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$v = \frac{s}{t}$

gdzie:

$v$ - szybkość ciała,

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$t$ - czas ruchu ciała.

W naszym przypadku:

$v_{w} = \frac{L}{T}$

gdzie:

$v_{w}$ - wartość prędkości wagonu,

$L$ - odległość między kolejnymi przerwami w szynach,

$T$ - czas między najechaniem na kolejne przerwy na torach.

Wyrażamy odpowiednio okres drgań układu sprężyn.

MASA NA SPRĘŻYNIE - OKRES DRGAŃ

W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru:

$T = 2 π \frac{m}{k}$

gdzie:

$T$ - okres drgań,

$π$ - liczba π,

$m$ - masa zwieszona na sprężynie,

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny.

Wyznaczmy wypadkowy współczynnik sprężystości dla wagonu. Wiemy, że jeden wózek składa się z dwóch poziomów sprężyn, na każdym z tych poziomów sprężyny połączone są ze sobą równolegle.

Zatem zastępczy współczynnik dla sprężystości pierwszego poziomu ma postać:

$k_{I} = k_{1} + k_{1} + k_{1} + k_{1}$

gdzie:

$k_{I}$ - współczynnik sprężystości układu sprężyn na pierwszym poziomie,

$k_{1}$ - współczynnik każdej sprężyny.

$k_{I} = 4 k_{1}$

Natomiast zastępczy współczynnik sprężystości dla drugiego poziomu wózka wynosi:

$k_{II} = k_{2} + k_{2}$

gdzie:

$k_{II}$ - współczynnik sprężystości układu sprężyn na drugim poziomie,

$k_{2}$ - współczynnik każdej sprężyny.

$k_{II} = 2 k_{2}$

Poziomy te ze sobą połączone są w sposób szeregowy, czyli:

$\frac{1}{k ^{'}} = \frac{1}{k _{I}} + \frac{1}{k _{II}}$

$\frac{1}{k ^{'}} = \frac{1}{4 k _{1}} + \frac{1}{2 k _{2}}$

$\frac{1}{k ^{'}} = \frac{k _{2}}{4 k _{1} k _{2}} + \frac{2 k _{1}}{4 k _{1} k _{2}}$

$\frac{1}{k ^{'}} = \frac{2 k _{1} + k _{2}}{4 k _{1} k _{2}}$

$k^{'} = \frac{4 k _{1} k _{2}}{2 k _{1} + k _{2}}$

Ponieważ każdy z wagonów ma cztery wózki, które są do siebie równoległe, to otrzymujemy, że:

$k = k^{'} + k^{'} + k^{'} + k^{'}$

$k = 4 k^{'}$

$k = 4 \cdot \frac{4 k _{1} k _{2}}{2 k _{1} + k _{2}}$

$k = \frac{16 k _{1} k _{2}}{2 k _{1} + k _{2}}$

Wówczas okres drgań ma postać:

$T = 2 π \frac{m}{k}$

$T = 2 π \frac{m}{\frac{16 k _{1} k _{2}}{2 k _{1} + k _{2}}}$

$T = 2 π \frac{( 2 k _{1} + k _{2} ) m}{16 k _{1} k _{2}}$

Wówczas:

$v_{w} = \frac{L}{T}$

$v_{w} = \frac{L}{2 π \frac{( 2 k _{1} + k _{2} ) m}{16 k _{1} k _{2}}}$

$v_{w} = \frac{L}{2 π} \frac{1}{\frac{( 2 k _{1} + k _{2} ) m}{16 k _{1} k _{2}}}$

$v_{w} = \frac{L}{2 π} \frac{16 k _{1} k _{2}}{( 2 k _{1} + k _{2} ) m}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{w} = \frac{25 m}{2 \cdot 3 , 14} \cdot \frac{16 \cdot 0 , 35 \cdot 10 ^{6} \frac{N}{m} \cdot 3 , 8 \cdot 10 ^{6} \frac{N}{m}}{( 2 \cdot 0 , 35 \cdot 10 ^{6} \frac{N}{m} + 3 , 8 \cdot 10 ^{6} \frac{N}{m} ) \cdot 3 , 6 \cdot 10 ^{4} kg} =$

$= \frac{25 m}{6 , 28} \cdot \frac{21 , 28 \cdot 10 ^{12} ( \frac{N}{m} ) ^{2}}{( 0 , 7 \cdot 10 ^{6} \frac{N}{m} + 3 , 8 \cdot 10 ^{6} \frac{N}{m} ) \cdot 3 , 6 \cdot 10 ^{4} kg} \approx$

$\approx 3, 98 m \cdot \frac{21 , 28 \cdot 10 ^{12} ( \frac{N}{m} ) ^{2}}{4 , 5 \cdot 10 ^{6} \frac{N}{m} \cdot 3 , 6 \cdot 10 ^{4} kg} = 3, 98 m \cdot \frac{21 , 28 \cdot 10 ^{12} \frac{N}{m}}{16 , 2 \cdot 10 ^{10} kg} =$

$= 3, 98 m \cdot \frac{2128 \cdot 10 ^{10} \frac{kg \cdot \frac{m}{s ^{2}}}{m}}{16 , 2 \cdot 10 ^{10} kg} \approx 3, 98 m \cdot 131, 358 \frac{1}{s ^{2}} \approx$