Na placu zabaw znajduje się trampolina. Gdy na jej środku stanął...- Zadanie 9.2.7.: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 40 kg$

$x_{0} = 9 cm = 0, 09 m$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ .

$a)$

Szukane:

$T = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie okresu drgań na trampolinie. Sprężystą trampolinę możemy potraktować jako wahadło sprężynowe. Możemy skorzystać ze wzoru:

$T = 2 π \frac{x _{0}}{g}$

gdzie:

$T$ - okres drgań wahadła sprężynowego,

$x_{0}$ - wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Podstawiamy dane liczbowe:

$T = 2 \cdot 3, 14 \cdot \frac{0 , 09 m}{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}} = 6, 28 \cdot 0, 00917 s^{2} \approx 6, 28 \cdot 0, 09576 s \approx 0, 601 s$

$b)$

Dane:

$T_{1} = 0, 9 s$

Szukane:

$m^{'} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie masy drugiego chłopca, który wskoczył na trampolinę.

WARTOŚĆ SIŁY SPRĘŻYSTOŚCI

Wartość siły sprężystości działającej na ciało drgające możemy przedstawić wzorem:

$F = k x$

gdzie:

$F$ - wartość siły sprężystości,

$k$ - współczynnik sprężystości układu,

$x$ - wychylenie ciała z położenia równowagi.

Początkowo na trampolinie znajdował się tylko pierwszy chłopiec. Wówczas działa na nią siła sprężystości o wartości:

$F = k x_{0}$

gdzie:

$F$ - początkowa wartość siły sprężystości,

$x_{0}$ - początkowe ugięcie trampoliny.

Ponadto mamy również siłę ciężkości pierwszego chłopca.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Stąd:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości pierwszego chłopca,

$m$ - masa pierwszego chłopca.

Siły te mają przeciwne zwroty i się równoważą. Wówczas współczynnik sprężystości tej trampoliny możemy przedstawić wzorem:

$F = F_{c}$

$k x_{0} = m g ∣ : x_{0}$

$k = \frac{m g}{x _{0}}$

Wyrażamy okres drgań trampoliny.

MASA NA SPRĘŻYNIE - OKRES DRGAŃ

W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru:

$T = 2 π \frac{m}{k}$

gdzie:

$T$ - okres drgań,

$π$ - liczba π,

$m$ - masa zwieszona na sprężynie,

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny.

Po dołączeniu drugiego chłopca, masę jaką jest obciążana trampolina wyrazimy jako:

$M = m + m^{'}$

gdzie:

$M$ - całkowita masa dwóch chłopców,

$m^{'}$ - masa drugiego chłopca.

Zatem:

$T_{1} = 2 π \frac{M}{k}$

$T_{1} = 2 π \frac{m + m ^{'}}{k}$

Korzystamy z wyznaczonego wcześniej wzoru na współczynnik sprężystości.

$T_{1} = 2 π \frac{m + m ^{'}}{\frac{m g}{x _{0}}}$

$T_{1} = 2 π \frac{x _{0} ( m + m ^{'} )}{m g}$

$T_{1} = 2 π \frac{x _{0} m + x _{0} m ^{'}}{m g}$

Wyznaczamy masę drugiego chłopca.

$T_{1} = 2 π \frac{x _{0} m + x _{0} m ^{'}}{m g} ∣ : 2 π$

$\frac{T _{1}}{2 π} = \frac{x _{0} m + x _{0} m ^{'}}{m g} ∣^{2}$

$(\frac{T _{1}}{2 π})^{2} = \frac{x _{0} m + x _{0} m ^{'}}{m g} ∣ \cdot m g$

$\frac{m g T _{1}^{2}}{4 π ^{2}} = x_{0} m + x_{0} m^{'} ∣ - x_{0} m$

$\frac{m g T _{1}^{2}}{4 π ^{2}} - x_{0} m = x_{0} m^{'} ∣ : x_{0}$

$\frac{m g T _{1}^{2}}{4 π ^{2} x _{0}} - m = m^{'}$

$m^{'} = \frac{m g T _{1}^{2}}{4 π ^{2} x _{0}} - m$

Podstawiamy dane liczbowe:

$m^{'} = \frac{40 kg \cdot 9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 0 , 9 s ) ^{2}}{4 \cdot 3 , 1 4 ^{2} \cdot 0 , 09 m} - 40 kg = \frac{317 , 844 kg \cdot m}{3 , 549456 m} - 40 kg \approx 89, 5 kg - 40 kg = 49, 5 kg$