Dane:

$t=\frac{3}{4}T$  

$v_x=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{\text{max}}$  

$f=0,5\text{Hz}$  

$a_{\text{max}}=0,08{\pi }^2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$0<\phi <\frac{\pi }{2}$

Szukane:

${\phi }_0=?$  

$x\left(t\right)=?$  

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie fazy początkowej ruchu oraz zapisanie równania położenia od czasu dla podanej częstotliwości, oraz przyspieszenia. 

Na początku skorzystajmy z funkcji zależności współrzędnej prędkości od czasu, aby móc wyznaczyć fazę ruchu. Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

RUCH DRGAJĄCY - WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością: $v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$ gdzie:  $v$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie,  $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   $\phi$ - faza ruchu.

Z naszego polecenia wiemy, że interesująca nas szybkość to maksymalna wartość prędkości mnożona przez liczbę. Wiemy, że maksymalna prędkość jest dana wzorem:

RUCH DRGAJĄCY - MAKSYMALNA WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI W ruchu drgającym wartość prędkości ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością wartości prędkości od czasu, w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość prędkości ma wówczas postać: $v_{\max }=A\omega$ gdzie:  $v_{\max }$ - maksymalna wartość prędkości (wartość prędkości w położeniu równowagi), $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań.

Korzystając z powyższego możemy zapisać wzór na szybkość w postaci:

$v\left(t\right)=v_{\max }\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Stosując oznaczenia z polecenia możemy zapisać:

$v_x=v_{\max }\cos \left(\omega t+{\phi }_0\right)$

gdzie:

$v_x$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie,

${\phi }_0$ - faza początkowa.

W powyższym równaniu nie znamy częstości drgań, jednak wiemy, że jest ona związana z okresem zależnością:

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =\frac{2\pi }{T}$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $T$ - okres drgań.

Podstawiając powyższe do wzoru na szybkość:

$v_x=v_{\max }\cos \left(\frac{2\pi }{T}t+{\phi }_0\right)$

Z treści zadania wiemy, że dla $t=\frac{3}{4}T$ mamy $v_x=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{\text{max}}$. W związku z tym powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{\max }=v_{\max }\cos \left(\frac{2\pi }{\cancel{T}}\cdot \frac{3}{4}\cancel{T}+{\phi }_0\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{\max }=v_{\max }\cos \left(\frac{6\pi }{4}+{\phi }_0\right)$

Jak widzimy możemy skrócić maksymalną szybkość i wówczas mamy:

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \left(\frac{3}{2}\pi +{\phi }_0\right)$

Wiemy, że cosinus przyjmuje wartość po lewej stronie dla kąta $\frac{\pi }{4}$ oraz $\frac{7}{4}\pi$. Z polecenia mamy przyjąć, że $0<{\phi }_{}<\frac{\pi }{2}$, zatem przyjmujemy, że kąt jaki mamy otrzymać wynosi $\frac{\pi }{4}$. W związku z tym możemy zapisać:

$\frac{3}{2}\pi +{\phi }_0=\frac{1}{4}\pi |-\frac{3}{2}\pi$

${\phi }_0=\frac{1}{4}\pi -\frac{3}{2}\pi$

${\phi }_0=\frac{1}{4}\pi -\frac{6}{4}\pi$

${\phi }_0=-\frac{5}{4}\pi$

Chcemy również zapisać wzór na położenie ciała. Wzór na położenie ma postać:

RUCH DRGAJĄCY - POŁOŻENIE Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością: $x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$ gdzie:  $x$ - wychylenie ciała po zadanym czasie,  $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   $\phi$ - faza ruchu.

Zauważmy jednak, że nie znamy amplitudy drgań, ani częstości. Znamy za to wartość maksymalnego przyspieszenia oraz częstotliwość.

Częstość jest związana z częstotliwością zależnością:

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =2\pi f$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $f$ - częstotliwość drgań.

Podstawiamy wartości liczbowe do powyższego równania:

$\omega =2\pi \cdot 0,5\text{Hz}=\pi \frac{1}{\text{s}}$

Wiemy, że maksymalne przyspieszenie jest dane wzorem:

RUCH DRGAJĄCY - MAKSYMALNA WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA W ruchu drgającym wartość przyspieszenia ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w jednym z maksymalnych wychyleń od położenia równowagi. Wówczas, zgodnie z zależnością wartości przyspieszenia od czasu, w tym położeniu sinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość przyspieszenia ma wówczas postać: $a_{\max }=A{\omega }^2$ gdzie:  $a_{\max }$ - maksymalna wartość przyspieszenia, $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na amplitudę:

$a_{\max }=A{\omega }^2|:{\omega }^2$

$\frac{a_{\max }}{{\omega }^2}=A$

$A=\frac{a_{\max }}{{\omega }^2}$

Podstawiając wartości liczbowe dostajemy:

$A=\frac{0,08{\pi }^2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{{\left(\pi \frac{1}{\text{s}}\right)}^2}=\frac{0,08\cancel{{\pi }^2}\frac{\text{m}}{\cancel{{\text{s}}^2}}}{\cancel{{\pi }^2}\frac{1}{\cancel{{\text{s}}^2}}}=0,08\text{m}$

Korzystając z otrzymanych przez nas wartości możemy zapisać wzór na położenie ciała (z pominięciem podstawowych jednostek układu SI):

$x\left(t\right)=0,08\sin \left(\pi t-\frac{5}{4}\pi \right)$

Odpowiedź: Faza początkowa wynosi ${\phi }_0=-\frac{5}{4}\pi$. Równanie ruchu ma natomiast postać $x\left(t\right)=0,08\sin \left(\pi t-\frac{5}{4}\pi \right)$.