$\mathrm{1.1.}$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wymienienie procesów, którym podlega gaz.

▶ Proces $1\to 2$   to izobaryczne rozprężanie. Zauważmy, że w tej przemianie mamy stałe ciśnienie  i wzrasta objętość gazu.

▶ Proces $2\to 3$ to izochoryczne ochładzanie. W tej przemianie objętość jest stała i ciśnienie maleje.

▶ Proces $3\to 4$ to izobaryczne sprężanie. W tej przemianie ciśnienie jest stałe i objętość maleje.

▶ Proces $4\to 1$ to izochoryczne ogrzewanie. W tej przemianie objętość jest stała i ciśnienie wzrasta.

 

$\mathrm{1.2.}$  

Dane:

$n=2\text{mol}$  

$R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$  

Szukane:

$T_1=?$

$T_2=?$

$T_3=?$

$T_4=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie temperatur w stanach $1$, $2$, $3$ oraz $4$ gazu. Skorzystajmy z równania Clapeyrona.

RÓWNANIE CLAPEYRONA Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona: $pV=nRT$ gdzie: $p$ - ciśnienie gazu,  $V$ - objętość gazu,  $n$ - liczba moli gazu,  $R$ - stała gazowa,  $T$ - temperatura gazu doskonałego.

$pV=nRT|:nR$

$\frac{pV}{nR}=T$

$T=\frac{pV}{nR}$

Wówczas dla stanu $1$ zapiszemy:

$T_1=\frac{p_1{V}_1}{nR}$

gdzie:

$T_1$ - temperatura gazu w stanie $1$,

$p_1$ - ciśnienie gazu w stanie $1$,

$V_1$ - objętość gazu w stanie $1$.

Dla stanu $2$ zapiszemy:

$T_2=\frac{p_2{V}_2}{nR}$

gdzie:

$T_2$ - temperatura gazu w stanie $2$,

$p_2$ - ciśnienie gazu w stanie $2$,

$V_2$ - objętość gazu w stanie $2$.

Dla stanu $3$ zapiszemy:

$T_3=\frac{p_3{V}_3}{nR}$

gdzie:

$T_3$ - temperatura gazu w stanie $3$,

$p_3$ - ciśnienie gazu w stanie $3$,

$V_3$ - objętość gazu w stanie $3$.

Dla stanu $4$ zapiszemy:

$T_4=\frac{p_4{V}_4}{nR}$

gdzie:

$T_4$ - temperatura gazu w stanie $4$,

$p_4$ - ciśnienie gazu w stanie $4$,

$V_4$ - objętość gazu w stanie $4$.

Odczytajmy z wykresu parametry gazu dla każdego ze stanów:

▶ dla stanu $1$: $p_1=3\cdot {10}^6\text{Pa}$, $V_1=2\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3$,

▶ dla stanu $2$: $p_2=3\cdot {10}^6\text{Pa}$, $V_2=6\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3$,

▶ dla stanu $3$: $p_3=1\cdot {10}^6\text{Pa}$, $V_3=6\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3$,

▶ dla stanu $4$: $p_4=1\cdot {10}^6\text{Pa}$, $V_4=2\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3$,

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$T_1=\frac{3\cdot {10}^6\text{Pa}\cdot 2\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3}{2\text{mol}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}}=\frac{6\cdot {10}^3\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}=$

$=\frac{6\cdot {10}^3\text{J}}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}\approx 0,361\cdot {10}^3\text{K }=361\text{K}$

$T_2=\frac{3\cdot {10}^6\text{Pa}\cdot 6\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3}{2\text{mol}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}}=\frac{18\cdot {10}^3\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}=$

$=\frac{18\cdot {10}^3\text{J}}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}\approx 1,083\cdot {10}^3\text{K}=1083\text{K}$

$T_3=\frac{1\cdot {10}^6\text{Pa}\cdot 6\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3}{2\text{mol}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}}=\frac{6\cdot {10}^3\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}=$

$=\frac{6\cdot {10}^3\text{J}}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}\approx 0,361\cdot {10}^3\text{K }=361\text{K}$

$T_4=\frac{1\cdot {10}^6\text{Pa}\cdot 2\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3}{2\text{mol}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}}=\frac{2\cdot {10}^3\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}=$

$=\frac{2\cdot {10}^3\text{J}}{16,62\frac{\text{J}}{\text{K}}}\approx 0,12\cdot {10}^3\text{K}=120\text{K}$

Odpowiedź: Temperatura w stanie $1$ wynosiła $361\text{K}$, w stanie $2$ wynosiła $1083\text{K}$, w stanie $3$ wynosiła $361\text{K}$, a w $4$ wynosiła $120\text{K}$.

 

$\mathrm{1.3.}$  

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$Q_{\text{odd}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ciepła oddanego przez gaz do otoczenia w jednym cyklu. Wiemy, że ciepło jest oddawane do otoczenia wtedy, gdy temperatura maleje. Zauważmy, że dla naszego przypadku temperatura maleje w procesach $2-3$ oraz $3-4$. Ciepło oddane przez gaz w cyklu będzie sumą ciepł oddanych w przemianach $2-3$ oraz $3-4$. Wyznaczmy ciepło oddane w przemianie $2-3$, przemiana ta jest przemianą izochoryczną. 

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOCHORYCZNEJ Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem: $Q=n{C}_V\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem, $n$ - liczba moli gazu, $C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości, $\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Wówczas:

$Q_{2-3}=n{C}_V\left(T_2-T_3\right)$

gdzie:

$Q_{2-3}$  - ciepło oddane przez gaz w przemianie $2-3$,

$n$ - liczba moli gazu roboczego,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$T_2$ - temperatura gazu w stanie $2$,

$T_3$ - temperatura gazu w stanie $3$.     

Wyznaczmy ciepło oddane przez gaz w przemianie $3-4$, przemiana ta jest przemianą izobaryczną. 

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOBARYCZNEJ Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem: $Q=n{C}_p\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem, $n$ - liczba moli gazu, $C_p$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu, $\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Wówczas:

$Q_{3-4}=n{C}_p\left(T_3-T_4\right)$  

gdzie:

$Q_{3-4}$ - ciepło oddane przez gaz w przemianie $3-4$,

$C_p$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$T_4$ - temperatura gazu w stanie $4$.

Wówczas całkowite ciepło oddane przez gaz do otoczenia w czasie jednego cyklu przemian wynosi:

$Q_{\text{odd}}=Q_{2-3}+Q_{{}_{3-4}}$  

gdzie:

$Q_{\text{odd}}$ - ciepło oddane przez gaz w całym cyklu.

$Q_{\text{odd}}=n{C}_V\left(T_2-T_3\right)+n{C}_p\left(T_3-T_4\right)$      

Wiemy, że dla gazu jednoatomowego:

$C_V=\frac{3}{2}R$  

$C_p=\frac{5}{2}R$  

Zatem:

$Q_{\text{odd}}=n\frac{3}{2}R\left(T_2-T_3\right)+n\frac{5}{2}R\left(T_3-T_4\right)$     

Podstawmy dane liczbowe, wartości temperatur wyznaczyliśmy w poprzednim podpunkcie:

$Q_{\text{odd}}=\bcancel{2}\cancel{\text{mol}}\cdot \frac{3}{\bcancel{2}}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{mol}}\cdot \text{K}}\cdot \left(1083\text{K}-361\text{K}\right)+\bcancel{2}\cancel{\text{mol}}\cdot \frac{5}{\bcancel{2}}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{mol}}\cdot \text{K}}\left(361\text{K}-120\text{K}\right)=$      

$=3\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{K}}}\cdot 722\cancel{\text{K}}+5\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{K}}}\cdot 241\cancel{\text{K}}=$      

$=17999,46\text{J}+10013,55\text{J}\approx 28000\text{J}$

Odpowiedź: Ciepło oddane przez gaz w cyklu wynosi około $28000\text{J}$.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$W_Z=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną w tym cyklu. Praca wykonana przez siły zewnętrzne w tym cyklu ma miejsce w przemianie izobarycznego sprężania gazu.

PRACA JAKO POLE FIGURY POD WYKRESEM Pracę w przemianie termodynamicznej możemy wyznaczyć jako pole figury pod wykresem zależności $p\left(V\right)$.

Wówczas pracę wykonaną przez siły zewnętrzne w przemianie $3-4$ zapiszemy:

$W_Z=p_4\cdot \left(V_3-V_3\right)$

gdzie:

$p_4$ - ciśnienie gazu w przemianie $3-4$,

$V_3$ - objętość gazu w stanie $3$,

$V_4$ - objętość gazu w stanie $4$. 

Odczytajmy z wykresu parametry gazu dla tych dwóch stanów ze stanów:

▶ dla stanu $3$: $V_3=6\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3$,

▶ dla stanu $4$: $p_4=1\cdot {10}^6\text{Pa}$, $V_4=2\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3$.

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$W_Z=1\cdot {10}^6\text{Pa}\cdot \left(6\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3-2\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^3\right)=$

$=1\cdot 10^6\text{Pa}\cdot 4\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=$

$=4\cdot {10}^3\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}\cdot {\text{m}}^3=4\cdot {10}^3\text{J}=4\text{kJ}$  

Odpowiedź: Praca sił zewnętrznych wykonana nad gazem wynosi  $4\text{kJ}$.

 

$\mathbf{c})$   

Szukane:

$\eta =?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie sprawności uzyskanej w tym cyklu. 

SPRAWNOŚĆ SILNIKA Sprawność cyklu silnika cieplnego możemy przedstawić jako iloraz uzyskanej pracy i pobranego ciepła: $\eta =\frac{W}{Q_{\text{pobr}}}\cdot 100\%$ gdzie: $\eta$ - sprawność cyklu silnika cieplnego, $W$ - praca wykonana przez silnik cieplny, $Q_{\text{pobr}}$ - ciepło pobrane przez układ.

PRACA W CYKLU TERMODYNAMICZNYM Pracę uzyskaną w przemianie gazu wyrażamy jako różnicę ciepła pobranego przez gaz i ciepła oddanego przez gaz: $W=Q_{\text{pobr}}-Q_{\text{odd}}$ gdzie: $W$ - praca w cyklu, $Q_{\text{pobr}}$ - ciepło pobrane przez układ, $Q_{\text{odd}}$ - ciepło oddane przez układ.

Sprawność cyklu przemian zapiszemy:

$\eta =\frac{Q_{\text{pobr}}-Q_{\text{odd}}}{Q_{\text{pobr}}}\cdot 100\%$  

$\eta =1-\frac{Q_{\text{odd}}}{Q_{\text{pobr}}}\cdot 100\%$

gdzie:

$\eta$ - sprawność silnika w opisywanym cyklu,

$Q_{\text{pobr}}$ - ciepło pobrane przez gaz w cyklu,

$Q_{\text{odd}}$ - ciepło oddane przez gaz w cyklu.

Ciepło oddane do otoczenia przez zostało obliczone w podpunkcie $\mathbf{a})$:

$Q_{\text{odd}}=n\frac{3}{2}R\left(T_2-T_3\right)+n\frac{5}{2}R\left(T_3-T_4\right)$  

Obliczmy ciepło pobrane w cyklu z otoczenia. Ciepło zostanie pobrane w procesie izobarycznego rozprężania ($1-2$) oraz izochorycznego ogrzewania ($4-1$) ponieważ w tych procesach występuje wzrost temperatury. Ciepło pobrane przez gaz będzie sumą ciepła pobranego w przemianie $1-2$ oraz w przemianie $4-1$. Przemiana $1-2$ jest przemianą izobaryczną, wyznaczmy ilość ciepła pobranego przez gaz w tej przemianie. 

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOBARYCZNEJ Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem: $Q=n{C}_p\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem, $n$ - liczba moli gazu, $C_p$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu, $\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Wówczas:

$Q_{1-2}=n{C}_p\left(T_2-T_1\right)$  

gdzie:

$Q_{1-2}$ - ciepło oddane przez gaz w przemianie $1-2$,

$C_p$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$n$ - liczba moli gazu roboczego,

$T_2$ - temperatura gazu w stanie $2$,

$T_1$ - temperatura gazu w stanie $1$.

Przemiana $4-1$ jest przemianą izochoryczną, wyznaczmy ciepło pobrane przez gaz w tej przemianie:

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOCHORYCZNEJ Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem: $Q=n{C}_V\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem, $n$ - liczba moli gazu, $C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości, $\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Wówczas:

$Q_{4-1}=n{C}_V\left(T_1-T_4\right)$

gdzie:

$Q_{4-1}$  - ciepło oddane przez gaz w przemianie $4-1$,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$T_1$ - temperatura gazu w stanie $1$.   

$Q_{\text{pobr}}=Q_{1-2}+Q_{4-1}$  

$Q_{\text{pobr}}=n{C}_p{\left(T_2-T_1\right)}_{}+n{C}_V\left(T_1-T_4\right)$  

Wiemy, że dla gazu jednoatomowego:

$C_V=\frac{3}{2}R$  

$C_p=\frac{5}{2}R$  

Zatem:

$Q_{\text{pobr}}=n\cdot \frac{5}{2}R{\left(T_2-T_1\right)}_{}+n\cdot \frac{3}{2}R\left(T_1-T_4\right)$  

$Q_{\text{pobr}}=\frac{5}{2}nR{\left(T_2-T_1\right)}_{}+\frac{3}{2}nR\left(T_1-T_4\right)$

Wówczas podstawiając do wzoru na sprawność:

$\eta =1-\frac{Q_{\text{odd}}}{Q_{\text{pobr}}}\cdot 100\%$

$\eta =1-\frac{\frac{3}{\bcancel{2}}\cancel{nR}\left(T_2-T_3\right)+\frac{5}{\bcancel{2}}\cancel{nR}\left(T_3-T_4\right)}{\frac{5}{\bcancel{2}}\cancel{nR}{\left(T_2-T_1\right)}_{}+\frac{3}{\bcancel{2}}\cancel{nR}\left(T_1-T_4\right)}\cdot 100\%$

$\eta =1-\frac{3\left(T_2-T_3\right)+5\left(T_3-T_4\right)}{5{\left(T_2-T_1\right)}_{}+3\left(T_1-T_4\right)}\cdot 100\%$

Podstawmy dane liczbowe, wartości temperatur wyznaczyliśmy w poprzednim podpunkcie:

$\eta =1-\frac{3\left(1083\text{K}-361\text{K}\right)+5\left(361\text{K}-120\text{K}\right)}{5{\left(1083\text{K}-361\text{K}\right)}_{}+3\left(361\text{K}-120\text{K}\right)}\cdot 100\%=$

$=1-\frac{3\cdot 722\text{K}+5\cdot 241\text{K}}{5\cdot 722\text{K}+3\cdot 241\text{K}}\cdot 100\%=$

$=1-\frac{3\cdot 722\text{K}+5\cdot 241\text{K}}{5\cdot 722\text{K}+3\cdot 241\text{K}}\cdot 100\%=$

 $=1-\frac{2166\text{K}+1205\text{K}}{3610\text{K}+743\text{K}}\cdot 100\%=$

$=1-\frac{3371\text{K}}{4353\text{K}}\cdot 100\%=$

$\approx 1-0,77\cdot 100\%=23\%$

Odpowiedź: Sprawność cyklu wynosi około $23\%$.

 

$\mathbf{d})$  

Szukane:

$\Delta U_{1-2}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie zmiany energii wewnętrznej w przemianie $1-2$. Skorzystajmy z zasady ekwipartycji energii. 

ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii zmianę energii wewnętrznej gazu doskonałego w zamkniętym zbiorniku możemy przedstawić wzorem: $\Delta U=n{C}_V\Delta T$ gdzie: $\Delta U$ - zmiana energii wewnętrznej gazu,  $C_V$ - ciepło molowe gazu przy stałej ,  $n$ - liczba moli gazu,  $\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

 Wówczas:

$\Delta U_{1-2}=n{C}_V\left(T_2-T_1\right)$

gdzie:

$\Delta U_{1-2}$ - zmiana energii wewnętrznej gazu w przemianie $1-2$,

$n$ - liczba moli gazu roboczego,

$C_V$ - ciepło molowe gazu przy stałej objętości,

$T_2$ - temperatura gazu w stanie $2$,

$T_1$ - temperatura gazu w stanie $1$.

Wiemy, że dla gazu jednoatomowego:

$C_V=\frac{3}{2}R$  

Zatem:

$\Delta U_{1-2}=n\cdot \frac{3}{2}R\left(T_2-T_1\right)$

$\Delta U_{1-2}=\frac{3}{2}nR\left(T_2-T_1\right)$

Podstawmy dane liczbowe, wartości temperatur wyznaczyliśmy w poprzednim podpunkcie:

$\Delta U_{1-2}=\frac{3}{\bcancel{2}}\cdot \bcancel{2}\cancel{\text{mol}}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{mol}}\cdot \text{K}}\left(1083\text{K}-361\text{K}\right)=$

$=3\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{K}}}\cdot 722\cancel{\text{K}}=$

$=3\cdot 8,31\text{J}\cdot 722=$

$=17999,46\text{J}\approx 18000\text{J}$

Odpowiedź: Zmiana energii wewnętrznej gazu w przemianie $1-2$ wynosiła około  $18000\text{J}$.