W próżni, gdzie p = 0...- Zadanie 8.1.: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$V = 200 cm^{3} = 200 \cdot 1 0^{- 6} m^{3}$

$T_{0} = 273 K$

$p_{0} = 1013 hPa = 1013 \cdot 1 0^{2} Pa$

$N = 1 0^{10}$

$q = 1%$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała Avogadro: $N_{A} = 6, 022 \cdot 1 0^{23} \frac{1}{mol}$ ,

▶ stała gazowa: $R = 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K}$ .

Szukane:

$t = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czasu, po jakim ciśnienie w naczyniu zmaleje o $q = 1%$ .

Skoro w pojemniku przy ciśnieniu $p_{0}$ znajduję się $N_{0}$ cząsteczek to przy ciśnieniu $p^{'}$ w pojemniku będzie znajdować się $N^{'}$ cząsteczek. Zgodnie z treścią zadania ciśnienie $p^{'}$ ma być o $1%$ mniejsze od ciśnienia $p_{0}$ . Zakładamy, że powietrze w pojemniku jest gazem doskonałym. Dla takiego gazu możemy zastosować równanie Clapeyrona;

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Zauważmy, że liczbę cząsteczek możemy przedstawić jako iloczyn liczby moli i liczby Avogadro:

$N = n N_{A}$

gdzie:

$N$ - liczba cząsteczek,

$n$ - liczba moli gazu,

$N_{A}$ - liczba Avogadro.

Przekształcamy powyższy wzór celem wyznaczenia liczby moli:

$n N_{A} = N ∣ : N_{A}$

$n = \frac{N}{N _{A}}$

Wracamy do równania Clapeyrona i wyznaczamy ciśnienie:

$p V = n R T ∣ : V$

$p = \frac{n R T}{V}$

$p = \frac{\frac{N}{N _{A}} R T}{V}$

$p = \frac{N R T}{N _{A} V}$

Widzimy, że ciśnienie jest wprost proporcjonalne do liczby cząsteczek:

$p \sim N$

Zatem ciśnienie zmaleje o $q$ procent gdy liczba cząstek w pojemniku zmaleje o $q$ procent. Skupmy się teraz na wyznaczeniu wzoru na początkową liczbę cząstek. Ze wzoru na ciśnienie mamy:

$p = N \frac{R T}{N _{A} V} : \frac{R T}{N _{A} V}$

$\frac{p N _{A} V}{R T} = N$

Zamieniamy stronami.

$N = \frac{p V}{R T} N_{A}$

Analogicznie wzór na początkową liczbę cząstek w pojemniku przyjmie postać:

$N_{0} = \frac{p _{0} V}{R T _{0}} N_{A}$

Na skutek rozszczelnienia liczba cząsteczek zmaleje o $q$ procent. Korzystając z proporcji wyznaczmy liczbę cząstek, które wydostały się na zewnątrz $N_{x}$ :

$N_{0} ——- 100%$

$N_{x} ——- q$

Mnożymy na krzyż:

$100% \cdot N_{x} = q \cdot N_{0} ∣ : 100%$

$N_{x} = \frac{q}{100%} N_{0}$

Wiemy, że w ciągu sekundy wydostało się z pojemnika $N$ cząstek. Ponownie, korzystając z proporcji wyznaczmy jak długo będą wydostawać się z pojemnika cząstki $N_{x}$ :

$N ——- 1 s$

$N_{x} ——- t$

Mnożymy na krzyż:

$N \cdot t = N_{x} \cdot 1 s ∣ : N$

$t = \frac{N _{x}}{N} \cdot 1 s$

Rozpisujemy $N_{x}$ wcześniej wyznaczonym wzorem:

$t = \frac{\frac{q}{100%} N _{0}}{N} \cdot 1 s$

$t = \frac{q}{100%} \cdot \frac{N _{0}}{N} \cdot 1 s$

Rozpisujemy $N_{0}$ wcześniej wykazanym wzorem:

$t = \frac{q}{100%} \cdot \frac{\frac{p _{0} V N _{A}}{R T _{0}}}{N} \cdot 1 s$

$t = \frac{q}{100%} \cdot \frac{p _{0} V}{R T _{0}} \cdot \frac{N _{A}}{N} \cdot 1 s$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$t = \frac{1%}{100%} \cdot \frac{1 013 \cdot 1 0 ^{2} Pa \cdot 200 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot m ^{3}}{8 , 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 273 K} \cdot \frac{6 , 022 \cdot 1 0 ^{23} \frac{1}{mol}}{1 0 ^{10}} \cdot 1 s =$

$= 0, 01 \cdot \frac{1 013 \cdot 200 \cdot 1 0 ^{2} \cdot 1 0 ^{- 6} Pa \cdot m ^{3}}{8 , 31 \cdot 273 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot K} \cdot 6, 022 \cdot 1 0^{13} \frac{1}{mol} \cdot 1 s =$