Do dwóch jednakowych butelek...- Zadanie 2: Fizyka 2. Zakres podstawowy. Wydanie 2020

Rozwiązanie

Rozwiązanie 1:

Na skutek rozszerzalności cieplnej, ogrzana woda zwiększy swoją objętość. Wodę w obu butelkach podgrzano do takiej samej temperatury. Zatem przyrost objętości w obu butelkach będzie taki sam. W butelce, do której wprowadzono rurkę o mniejszej średnicy (butelka B) poziom cieczy będzie zatem wyższy.

Rozwiązanie 2:

Uzasadnienie:

Zgodnie z treścią zadania mamy dwie butelki o różnych średnicach rurek, gdzie w butelce A średnica jest większa od rurki w butelce B:

$d_{A} > d_{B}$

Powiedziane jest również, że do butelek nalano taką samą ilość wody (o tej samej temperaturze). Następnie butelki z wodą podgrzewano.

W wyniku rozszerzalności cieplnej (dokładniej w wyniku rozszerzalności objętościowej) woda zwiększy swoją objętość tak samo zarówno w butelce A jak i w butelce B. Możemy więc zapisać, że objętość wody zwiększyła się pod wpływem ogrzewania o $Δ V$ .

Do oszacowania poziomu wody zakładamy,, że rurki mają kształt walców. Objętość walca opisuje wzór:

$V = π r^{2} h$

gdzie:

$h$ - wysokość walca,

$π$ - liczba pi,

$r$ - promień podstawy walca.

W treści zadania mamy podane średnice, ale możemy zapisać warunek podany w zadaniu również jako promienie rurek:

$r_{A} = \frac{d _{A}}{2}$

oraz:

$r_{B} = \frac{d _{B}}{2}$

Zatem:

$r_{A} > r_{B}$

Zakładając, że dodatkowa woda znajdzie się w rurce to kształt objętości jaką wypełnia woda przyjmie postać walca. Zapisać możemy więc, że dodatkowa objętość wody w rurce A opisana jest wzorem:

$Δ V_{A} = π r_{A}^{2} h_{A}$

Natomiast dodatkowa objętość wody w rurce opisana jest wzorem:

$Δ V_{B} = π r_{B}^{2} h_{B}$

Wiemy, że objętość dodatkowej wody w butelce A oraz w butelce B jest taka sama, zatem:

$Δ V_{A} = Δ V_{B}$

$π r_{A}^{2} h_{A} = π r_{B}^{2} h_{B} ∣ : π$

$r_{A}^{2} h_{A} = r_{B}^{2} h_{B} : r_{B}^{2}$

$\frac{r _{A}^{2}}{r _{B}^{2}} h_{A} = h_{B} ∣ : h_{A}$

$\frac{r _{A}^{2}}{r _{B}^{2}} = \frac{h _{B}}{h _{A}}$

$(\frac{r _{A}}{r _{B}})^{2} = \frac{h _{B}}{h _{A}}$

$\frac{r _{A}}{r _{B}} = \frac{h _{B}}{h _{A}}$

Wiemy, że promień rurki w butelce A jest większy od promienia rurki w butelce B, czyli:

$\frac{r _{A}}{r _{B}} > 1$

Zapisać więc możemy:

$\frac{h _{B}}{h _{A}} > 1^{2}$

$\frac{h _{B}}{h _{A}} > 1 ∣ \cdot h_{A}$

$h_{B} > h_{A}$

Mamy więc wniosek, że woda w butelce B podniesie się wyżej od wody w butelce A, ponieważ promień rurki w butelce A jest większy od promienia rurki w butelce B.

Odpowiedź:

Woda w wyniku rozszerzalności cieplnej (objętościowej rozszerzalności cieplnej cieczy) zwiększy swoją objętość tak samo zarówno w butelce A jak i w butelce B. Zakładając, że rurka ma kształt walca okazuję się, że woda podniesie się wyżej w butelce B, ponieważ rurka ma mniejszy promień (mniejszą średnice)