Współczynnik rozszerzalności liniowej danej substancji mówi nam o ile zmieni się długość ciała wykonanego z tej substancji podczas zmiany jego temperatury o jeden stopień.

---

Dane:

$\lambda =1,7\cdot 10^{-5}\frac{1}{\mathrm{K}}$

${\Delta }_{\Delta T}=1\mathrm{K}$

${\Delta }_{\Delta l}=0,01\mathrm{mm}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z wyników pomiarów podanych w przykładzie 41.1 w podręczniku:

$l_0=30\mathrm{cm}=300\mathrm{mm}$

$\Delta l=0,41\mathrm{mm}$

$\Delta T=80\mathrm{K}$

Szukane:

${\lambda }_{\min }=?$

${\lambda }_{\max }=?$

$\Delta \lambda =?$

$\frac{\Delta \lambda }{\lambda }=?$

Rozwiązanie:

Współczynnik rozszerzalności liniowej ciała przedstawiamy zależnością:

$\lambda =\frac{\Delta l}{l_0\Delta T}$

gdzie:

$\lambda$ - współczynnik rozszerzalności liniowej,

$\Delta l$ - zmiana długości,

$l_0$ - początkowa długość ciała,

$\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

Aby obliczyć minimalną i maksymalną wartość współczynnika rozszerzalności liniowej, podczas jego obliczania musimy uwzględnić niepewności pomiarowe. Współczynnik ten jest wprost proporcjonalny do zmiany długości pręta, więc aby uzyskać wartość minimalną, od wyniku pomiaru należy odjąć niepewność pomiarową, a jednocześnie dodać niepewność pomiarową do wyniku pomiaru zmiany temperatury, ponieważ współczynnik rozszerzalności jest do niej odwrotnie proporcjonalny.

Najmniejsza wartość współczynnika rozszerzalności liniowej będzie więc wynosić:

${\lambda }_{\min }=\frac{\Delta l-{\Delta }_{\Delta l}}{l_0\cdot \left(\Delta T+{\Delta }_{\Delta T}\right)}$

gdzie:

${\lambda }_{\min }$ - minimalna wartość współczynnika rozszerzalności liniowej,

${\Delta }_{\Delta l}$ - niepewność pomiaru zmiany długości pręta,

${\Delta }_{\Delta T}$ - niepewność pomiaru zmiany temperatury.

 Wstawiamy dane liczbowe:

${\lambda }_{\min }=\frac{0,41\text{mm}-0,01\text{mm}}{300\text{mm}\cdot \left(80\text{K}+1\text{K}\right)}=$  

$=\frac{0,4\cancel{\mathrm{mm}}}{300\cancel{\mathrm{mm}}\cdot 79\mathrm{K}}=1,65\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\mathrm{K}}$

Największą wartość współczynnika rozszerzalności liniowej obliczymy z wzoru:

${\lambda }_{\max }=\frac{\Delta l+{\Delta }_{\Delta l}}{l_0\cdot \left(\Delta T-{\Delta }_{\Delta T}\right)}$

Wstawiamy dane liczbowe:

${\lambda }_{\max }=\frac{0,41\text{mm}+0,01\text{mm}}{300\text{mm}\cdot \left(80\text{K}-1\text{K}\right)}=$  

$=\frac{0,42\cancel{\mathrm{mm}}}{300\cancel{\mathrm{mm}}\cdot 81\mathrm{K}}=1,77\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\mathrm{K}}$

Bezwzględną niepewność pomiaru współczynnika rozszerzalności liniowej obliczymy z wzoru:

$\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_{\max }-{\lambda }_{\min }}{2}$

gdzie:

$\Delta \lambda$ - bezwzględna niepewność pomiaru współczynnika rozszerzalności liniowej.

Wstawiamy dane liczbowe:

$\Delta \left(\lambda \right)=\frac{1,77\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\mathrm{K}}-1,65\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\mathrm{K}}}{2}=$  

$=0,06\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\mathrm{K}}\approx 0,1\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\mathrm{K}}$

Zapisujemy wartość współczynnika rozszerzalności liniowej wraz z niepewnością pomiaru:

$\lambda =\left(1,7\pm 0,1\right)\cdot {10}^{-5}\text{1/K}$  

Niepewność względna tego współczynnika wynosi:

$\frac{\Delta \left(\lambda \right)}{\lambda }=\frac{0,1\cdot {10}^{-5}\cancel{\frac{1}{\mathrm{K}}}}{1,7\cdot {10}^{-5}\cancel{\frac{1}{\mathrm{K}}}}\approx 0,06\approx 6\%$  

Odpowiedź: Graniczne wartości współczynnika rozszerzalności liniowej wynoszą 1,65⋅10^-5 1/K oraz 1,77⋅10^-5 1/K, niepewność bezwzględna ma wartość około 0,1⋅10^-5 1/K, a niepewność względna wynosi około 6%.