Dane:

$A=10\mathrm{cm}=0,1\mathrm{m}$  

$T=0,16\mathrm{s}$  

$t_0=0$

$x_0=0$  

$\phi =0$  

Szukane:

 $x=?$

$t=?$

Rozwiązanie:

Będziemy obliczać czas i położenie, dla których spełniony jest warunek:

$E_k=E_{ps}$ 

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna punktu materialnego,

$E_{ps}$ - energia potencjalna sprężystości.

Energię kinetyczną punktu obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$m$ - masa punktu, 

$v$ - szybkość, z jaką punkt się porusza. 

Energię potencjalną sprężystości wyznaczymy z zależności:

$E_{ps}=\frac{1}{2}k{x}^2$

gdzie:

$k$ - współczynnik sprężystości, 

$x$ - wychylenie z położenia równowagi.

Korzystając z powyższych wzorów możemy zapisać:

$E_k=E_{ps}$  

$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{x}^2\mid \cdot 2$  

$m{v}^2=k{x}^2$   

$m{v}^2=m{\omega }^2{x}^2\mid :m$

$v^2={\omega }^2{x}^2|\sqrt{}$  

$v=\omega x|:\omega$

$x=\frac{v}{\omega }$

Wartość prędkości punktu po określonym czasie w ruchu drgającym, bez fazy początkowej, przedstawiamy zależnością:

$v=A\omega \cos \left(\omega t\right)$

gdzie: 

$v$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań.

Częstość drgań możemy przedstawić zależnością:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Wstawiamy wyrażenia do wzoru na odległość punktu od położenia równowagi:

$x=\frac{A\cancel{\omega }\cos \left(\omega t\right)}{\cancel{\omega }}$

$x=A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$

Wychylenie ciała w dowolnym momencie trwania ruchu drgającego przedstawiamy zależnością:

$x=A\sin \left(\omega t\right)$

Teraz porównajmy powyższy wzór ogólny na położenie z wzorem otrzymanym z porównania energii:

$A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)\mid :A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

$\frac{A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}{A\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}=1$  

$\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}{\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)}=1$  

$\mathrm{tg}\left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)=1$  

Z tablic trygonometrycznych wiemy, że $\mathrm{tg}\alpha =1$, jeśli $\alpha =\frac{\pi }{4}$. Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy:

$\frac{2\pi }{T}\cdot t=\frac{\pi }{4}\mid :\pi$  

$\frac{2}{T}\cdot t=\frac{1}{4}\mid :\frac{T}{2}$  

$t=\frac{T}{8}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i otrzymujemy, że czas wynosi:

$t=\frac{0,16\mathrm{s}}{8}=0,02\mathrm{s}$      

Obliczmy teraz położenie dla otrzymanego czasu. Korzystamy z wzoru:

$x=A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=0,1\mathrm{m}\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{0,16\cancel{\mathrm{s}}}\cdot 0,02\cancel{\mathrm{s}}\right)=0,1\mathrm{m}\cdot \sin \left(0,25\pi \right)=0,1\mathrm{m}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=$  

$=0,1\mathrm{m}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,1\mathrm{m}\cdot 0,707=0,0707\mathrm{m}\approx 0,0707\mathrm{m}\approx 7,1\mathrm{cm}$      

Odpowiedź: Energia kinetyczna punktu jest równa energii potencjalnej sprężystości w odległości około 7,1 cm od położenia równowagi, po czasie 0,02 s.