$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

W treści zadania mamy podane:

▶ pole powierzchni prostopadłościanu: $S=25{\mathrm{cm}}^2$ 

▶ wysokość prostopadłościanu: $b=10\mathrm{cm}$

▶ odczytana wartość na siłomierzy, gdy ciało zawieszone było w powietrzu: $F=5\mathrm{N}$

Zauważmy, że na zawieszony prostopadłościan w powietrzu działa jedna siła:

▶ siła ciężkości zwrócona w dół: ${\vec{F}}_g$

Wyciągamy więc wniosek, że odczytana pierwsza wartość z siłomierza to wartość siły ciężkości:

$F_g=F$

$F_g=5\mathrm{N}$

Po zanurzeniu prostopadłościanu w cieczy działają na niego dwie siły:

▶ siła ciężkości zwrócona w dół: ${\vec{F}}_g$

▶ siła wyporu cieczy zwrócona w górę: ${\vec{F}}_w$

Oznacza to, że na ciało zacznie działać siła wypadkowa ${\vec{F}}_{\text{wypadkowa}}$, której wartość jest równa różnicy wartości siły ciężkości i siły wyporu cieczy:

$F_{\text{wypadkowa}}=F_g-F_w$

Zatem, gdy prostopadłościan jest zanurzony w wodzie to siłomierz wskazuje wartość siły wypadkowej. Przekształcając powyższy wzór możemy wyznaczyć wzór  na wartość siły wyporu:

$F_{\text{wypadkowa}}=F_g-F_w|+F_w$

$F_w+F_{\text{wypadkowa}}=F_g|-F_{\text{wypadkowa}}$

$F_w=F_g-F_{\text{wypadkowa}}$

Zatem znając wartość siły ciężkości oraz wskazanie siłomierza ($F=F_{\text{wypadkowa}}$) jesteśmy w stanie wyznaczyć wartość siły wypadkowej jaka działa na prostopadłościan przy danym zanurzeniu. Z drugiej strony zadaniem naszym jest wyznaczenie objętości zanurzonej części ciała. Objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi polA powierzchni i wysokości:

$V=S\cdot h$

gdzie:

$S$ - pole powierzchni,

$h$ - wysokość.

Znając pole powierzchni i wysokość zanurzonej części ciała (lub inaczej głębokość zanurzenia prostopadłościanu) możemy wyznaczyć objętość zanurzonej części prostopadłościanu.

 

Pomiar 2

▶ wskazanie siłomierza przy pierwszym zanurzeniu: $F=4,5\mathrm{N}$

▶ głębokość zanurzenia prostopadłościanu: $h=2\mathrm{cm}$

Wyznaczamy wartość siły wypadkowej:

$F_w=F_g-F$

$F_w=5\mathrm{N}-4,5\mathrm{N}=0,5\mathrm{N}$

Wyznaczamy objętość zanurzonej części prostopadłościanu:

$V=S\cdot h$

$V=25{\mathrm{cm}}^2\cdot 2\mathrm{cm}=25\cdot 2{\mathrm{cm}}^2\cdot \mathrm{cm}=50{\mathrm{cm}}^3$

 

Pomiar 3

▶ wskazanie siłomierza przy pierwszym zanurzeniu: $F=4\mathrm{N}$

▶ głębokość zanurzenia prostopadłościanu: $h=4\mathrm{cm}$

Wyznaczamy wartość siły wypadkowej:

$F_w=F_g-F$

$F_w=5\mathrm{N}-4\mathrm{N}=1\mathrm{N}$

Wyznaczamy objętość zanurzonej części prostopadłościanu:

$V=S\cdot h$

$V=25{\mathrm{cm}}^2\cdot 4\mathrm{cm}=25\cdot 4{\mathrm{cm}}^2\cdot \mathrm{cm}=100{\mathrm{cm}}^3$

 

Pomiar 4

▶ wskazanie siłomierza przy pierwszym zanurzeniu: $F=3,5\mathrm{N}$

▶ głębokość zanurzenia prostopadłościanu: $h=6\mathrm{cm}$

Wyznaczamy wartość siły wypadkowej:

$F_w=F_g-F$

$F_w=5\mathrm{N}-3,5\mathrm{N}=1,5\mathrm{N}$

Wyznaczamy objętość zanurzonej części prostopadłościanu:

$V=S\cdot h$

$V=25{\mathrm{cm}}^2\cdot 6\mathrm{cm}=25\cdot 6{\mathrm{cm}}^2\cdot \mathrm{cm}=150{\mathrm{cm}}^3$

 

Pomiar 5

▶ wskazanie siłomierza przy pierwszym zanurzeniu: $F=3\mathrm{N}$

▶ głębokość zanurzenia prostopadłościanu: $h=8\mathrm{cm}$

Wyznaczamy wartość siły wypadkowej:

$F_w=F_g-F$

$F_w=5\mathrm{N}-3\mathrm{N}=2\mathrm{N}$

Wyznaczamy objętość zanurzonej części prostopadłościanu:

$V=S\cdot h$

$V=25{\mathrm{cm}}^2\cdot 8\mathrm{cm}=25\cdot 8{\mathrm{cm}}^2\cdot \mathrm{cm}=200{\mathrm{cm}}^3$

 

Pomiar 5

▶ wskazanie siłomierza przy pierwszym zanurzeniu: $F=2,5\mathrm{N}$

▶ głębokość zanurzenia prostopadłościanu: $h=10\mathrm{cm}$

Wyznaczamy wartość siły wypadkowej:

$F_w=F_g-F$

$F_w=5\mathrm{N}-2,5\mathrm{N}=2,5\mathrm{N}$

Wyznaczamy objętość zanurzonej części prostopadłościanu:

$V=S\cdot h$

$V=25{\mathrm{cm}}^2\cdot 10\mathrm{cm}=25\cdot 10{\mathrm{cm}}^2\cdot \mathrm{cm}=250{\mathrm{cm}}^3$

 

 Odpowiedź: 

Uzupełniamy tabelę: 

Numer pomiaru	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Wskazanie siłomierza [N]	$5$	$4,5$	$4$	$3,5$	$3$	$2,5$
Wartość siły wyporu [N]	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$	$2,5$
Głębokość zanurzenia prostopadłościanu [cm]	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
Objętość zanurzonej części prostopadłościanu [cm3]	$0$	$50$	$100$	$150$	$200$	$250$

 

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Zadaniem naszym jest naniesienie punktów z tabeli na wykres zależności wartości siły wyporu od zanurzonej objętości prostopadłościanu:

Przykładowo nanosimy kolejny punkt:

Analogicznie nanosimy kolejne punkty z wykresu.

 Odpowiedź: 

Nanosimy punkty na wykres:

 

 

$\mathbf{c})$

W treści zadania mamy podany wzór na gęstość cieczy w jakiej został zanurzony prostopadłościan:

$d_c=\frac{F_w}{V\cdot g}$

gdzie:

$d_c$ - gęstość cieczy,

$F_w$ - wartość siły wyporu cieczy,

$V$ - zanurzona objętość ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Co więcej, mamy przyjąć:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}$

Zauważmy, że możemy wybrać dowolną wartość siły wyporu wody i odpowiadającą jej objętość zanurzonego ciała z wykresu. Przykładowo wybieramy pomiar, w którym prostopadłościan jest całkowicie zanurzony w cieczy, czyli pomiar 6:

▶ wartość siły wyporu: $F_w=2,5\mathrm{N}$

▶ zanurzona objętość ciała: $V=250{\mathrm{cm}}^3$

Zanim wprowadzimy dane do wzoru zamieniamy jednostkę objętości z cm³ na m³ korzystając z tego, że:

$1\mathrm{cm}=0,01\mathrm{m}$

Wówczas:

$1{\mathrm{cm}}^3={\left(1\mathrm{cm}\right)}^3={\left(0,01\mathrm{m}\right)}^3=0,000001{\mathrm{m}}^3$

Zatem:

$V=250\cdot 1{\mathrm{cm}}^3=250\cdot 0,000001{\mathrm{m}}^3=0,00025{\mathrm{m}}^3$

Wracamy do wzoru na gęstość cieczy:

$d_c=\frac{F_w}{V\cdot g}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$d_c=\frac{2,5\mathrm{N}}{0,00025{\mathrm{m}}^3\cdot 10\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}}=\frac{2,5}{0,00025\cdot 10}\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{m}}^3\cdot \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}}=$

$=\frac{2,5}{0,0025}\cancel{\mathrm{N}}\cdot \frac{\mathrm{kg}}{\cancel{\mathrm{N}}\cdot {\mathrm{m}}^3}=1000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$

Korzystając z tabeli na stronie 274 podręcznika widzimy, że gęstość ta odpowiada gęstości wody.