Dane:

$r_{\text{ZK}}=384400\text{km}$   

$R_{\text{Z}}=6400\text{km}$   

Szukane:

$d=?$  

Rozwiązanie:

Pomiędzy Ziemią, a Księżycem mamy rakietę, na którą działają równoważące się siły grawitacji pochodzące od Ziemi i od Księżyca:

$F_{\text{Z}}=F_{\text{K}}$  

gdzie:

$F_{\text{Z}}$  - wartość siły grawitacji pochodzącej od Księżyca, 

$F_{\text{K}}$  - wartość siły grawitacji pochodzącej od Ziemi.

Znamy odległość pomiędzy Ziemią i Księżycem oraz promień Ziemi. Szukamy odległości rakiety od powierzchni Ziemi. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_g=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$  

gdzie:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  - stałą grawitacji,

$m_1$  i $m_2$  - oddziałujące ze sobą masy,

$r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Oznacza to, że:

$F_{\text{Z}}=\frac{G{M}_{\text{Z}}m}{x^2}$  

$F_{\text{K}}=\frac{G{M}_{\text{K}}m}{{\left(r_{\text{ZK}}-x\right)}^2}$  

gdzie:

$m$  - masa rakiety, 

$m_{\text{Z}}$  - masa Ziemi, 

$m_{\text{K}}$  - masa Księżyca. 

Z treści zadania wiemy, że masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi, czyli masa Ziemi jest 81 razy większa od masy Księżyca:

$M_{\text{Z}}=81M_{\text{K}}$  

Wówczas odległość rakiety od środka Ziemi możemy przedstawić zależnością:

$F_{\text{Z}}=F_{\text{K}}$  

$\frac{\cancel{G}{M}_{\text{Z}}\cancel{m}}{x^2}=\frac{\cancel{G}{M}_{\text{K}}\cancel{m}}{{\left(r_{\text{ZK}}-x\right)}^2}$  

$\frac{81\cancel{M_{\text{K}}}}{x^2}=\frac{\cancel{M_{\text{K}}}}{{\left(r_{\text{ZK}}-x\right)}^2}$  

$\frac{81}{x^2}=\frac{1}{{\left(r_{\text{ZK}}-x\right)}^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

$x^2=81{\left(r_{\text{ZK}}-x\right)}^2$  

Obustronnie pierwiastkujemy równanie:

$\sqrt{x^2}=9\sqrt{{\left(r_{\text{ZK}}-x\right)}^2}$  

$\left|x\right|=9\left|r_{\text{ZK}}-x\right|$  

Oznacza to, że otrzymujemy:

I. $\left(-x\right)=9\left(-\left(r_{\text{ZK}}-x\right)\right)$   $-x=9\left(x-r_{\text{ZK}}\right)$   $-x=9x-9r_{\text{ZK}}\mid -9x$   $-10x=-9r_{\text{ZK}}\mid :\left(-10\right)$   $x=0,9r_{\text{ZK}}$

II.  $-x=9\left(r_{\text{ZK}}-x\right)$   $-x=9r_{\text{ZK}}-9x\mid +9x$   $8x=9r_{\text{ZK}}\mid :8$   $x=1,125r_{\text{ZK}}$

III.  $x=9\left(r_{\text{ZK}}-x\right)$   $x=9r_{\text{ZK}}-9x\mid +9x$   $10x=9r_{\text{ZK}}\mid :10$   $x=0,9r_{\text{ZK}}$

IV: $x=9\left(-\left(r_{\text{ZK}}-x\right)\right)$   $x=9\left(x-r_{\text{ZK}}\right)$   $x=9x-9r_{\text{ZK}}\mid -9x$   $-8x=-9r_{\text{ZK}}\mid :\left(-8\right)$   $x=1,125r_{\text{ZK}}$

Ponieważ rakieta znajduje się pomiędzy Księżycem, a Ziemią to jej odległość od środka Ziemi nie może być większa niż odległość pomiędzy Ziemią, a Księżycem. Wówczas wynik $x=1,125r_{\text{ZK}}$  odrzucamy, a prawdziwa jest odpowiedź:

$x=0,9r_{\text{ZK}}$  

Wówczas odległość rakiety od powierzchni Ziemi będzie miała postać:

$d=x-R_{\text{Z}}$  

$d=0,9r_{\text{ZK}}-R_{\text{Z}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=0,9\cdot 384400\text{km}-6400\text{km}=345960\text{km}-6400\text{km}=339560\text{km}$  

Odpowiedź: Odległość od powierzchni Ziemi, w której siła z jaką Ziemia działa na rakietę równoważy siłę z jaką Księżyc działa na rakietę wynosi 339 560 km.