Dane:

$m=0,4\text{kg}$  

$M=0,94\text{kg}$  

$l=1,2\text{m}$  

$x=20\text{cm}=0,2\text{m}$  

$T=2\text{s}$  

 

$a)$  

Oś obrotu przechodzi przez środek pręta o masie $m$  i długości $l$ , zatem moment bezwładności pręta wynosi:

$I_{\text{pr}}=\frac{1}{12}m{l}^2$  

Papugę traktujemy jako masę punktową. Jej początkowy moment bezwładności, gdy znajduje się na jednym z końców pręta, czyli w odległości $\frac{1}{2}l$  od osi obrotu ma postać:

$I_{\text{pa.0}}=M{\left(\frac{1}{2}l\right)}^2=\frac{1}{4}M{l}^2$  

Papuga zbliża się do osi obrotu o  $x$ . Wówczas jej moment bezwładności wynosi:

$I_{\text{pa}}=M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2$  

Korzystając z addytywności momentów bezwładności otrzymujemy, że początkowy moment bezwładności układu wynosi:

$I_0=I_{\text{pr}}+I_{\text{pa.0}}$  

$I_0=\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}M{l}^2$  

$I_0=\frac{1}{12}{l}^2\left(m+3M\right)$  

Natomiast końcowy moment bezwładności, po przesunięciu się papugi, ma postać:

$I=I_{\text{pr}}+I_{\text{pa}}$  

$I=\frac{1}{12}m{l}^2+M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2$  

Obliczmy ile razy zmalał moment bezwładności po zbliżeniu się papugi do osi obrotu:

$\frac{I_0}{I}=\frac{\frac{1}{12}{l}^2\left(m+3M\right)}{\frac{1}{12}m{l}^2+M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2}$  

$\frac{I_0}{I}=\frac{l^2\left(m+3M\right)}{12\cdot \left(\frac{1}{12}m{l}^2+M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2\right)}$  

$\frac{I_0}{I}=\frac{l^2\left(m+3M\right)}{m{l}^2+12M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{I_0}{I}=\frac{{\left(1,2\text{m}\right)}^2\cdot \left(0,4\text{kg}+3\cdot 0,94\text{kg}\right)}{0,4\text{kg}\cdot {\left(1,2\text{m}\right)}^2+12\cdot 0,94\text{kg}\cdot {\left(\frac{1}{2}\cdot 1,2\text{m}-0,2\text{m}\right)}^2}$  

$\frac{I_0}{I}=\frac{1,44{\text{m}}^2\cdot \left(0,4\text{kg}+2,82\text{kg}\right)}{0,4\text{kg}\cdot 1,44{\text{m}}^2+11,28\text{kg}\cdot {\left(0,6\text{m}-0,2\text{m}\right)}^2}$  

$\frac{I_0}{I}=\frac{1,44{\text{m}}^2\cdot 3,22\text{kg}}{0,576\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+11,28\text{kg}\cdot {\left(0,4\text{m}\right)}^2}$  

$\frac{I_0}{I}=\frac{4,6368{\text{m}}^2\cdot \text{kg}}{0,576\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+11,28\text{kg}\cdot 0,16{\text{m}}^2}$  

$\frac{I_0}{I}=\frac{4,6368\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{0,576\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+1,8048\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}$  

$\frac{I_0}{I}=\frac{4,6368\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{2,3808\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}$  

$\frac{I_0}{I}\approx 1,94758$  

$\frac{I_0}{I}\approx 2$  

Moment bezwładności zmniejszył się około 2 razy.

 

$b)$  

Znając okres obrotu układu po zmianie położenia papugi możemy zapisać, że jej szybkość kątowa będzie wówczas wynosiła:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

Początkową szybkość kątowa możemy wyrazić przy pomocy początkowej częstotliwości obrotów zależnością:

${\omega }_0=2\pi f_0$  

Zatem początkowy moment pędu układu będzie miał postać:

$L_0=I_0{\omega }_0$  

$L_0=\frac{1}{12}{l}^2\left(m+3M\right)2\pi f_0$  

$L_0=\frac{\pi }{6}{l}^2\left(m+3M\right)f_0$  

Moment pędu układu po zmianie położenia papugi będzie miał postać:

$L=I\omega$  

$L=\left(\frac{1}{12}m{l}^2+M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2\right)\frac{2\pi }{T}$  

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu wyznaczmy początkową częstotliwość z jaką obracał się układ:

$L_0=L$  

$\frac{\cancel{\pi }}{6}{l}^2\left(m+3M\right)f_0=\left(\frac{1}{12}m{l}^2+M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2\right)\frac{2\cancel{\pi }}{T}\mid \cdot 6$  

$l^2\left(m+3M\right)f_0=\left(m{l}^2+12M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2\right)\frac{1}{T}\mid :l^2\left(m+3M\right)$  

$f_0=\frac{\left(m{l}^2+12M{\left(\frac{1}{2}l-x\right)}^2\right)}{l^2\left(m+3M\right)}\frac{1}{T}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f_0=\frac{0,4\text{kg}\cdot {\left(1,2\text{m}\right)}^2+12\cdot 0,94\text{kg}\cdot {\left(\frac{1}{2}\cdot 1,2\text{m}-0,2\text{m}\right)}^2}{{\left(1,2\text{m}\right)}^2\cdot \left(0,4\text{kg}+3\cdot 0,94\text{kg}\right)}\cdot \frac{1}{2\text{s}}=$  

$=\frac{0,4\text{kg}\cdot 1,44{\text{m}}^2+12\cdot 0,94\text{kg}\cdot {\left(0,6\text{m}-0,2\text{m}\right)}^2}{1,44{\text{m}}^2\cdot \left(0,4\text{kg}+2,82\text{kg}\right)}\cdot 0,5\frac{1}{\text{s}}=$  

$=\frac{0,576\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+11,28\text{kg}\cdot {\left(0,4\text{m}\right)}^2}{1,44{\text{m}}^2\cdot 3,22\text{kg}}\cdot 0,5\text{Hz}=$  

$=\frac{0,576\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+11,28\text{kg}\cdot 0,16{\text{m}}^2}{4,6368{\text{m}}^2\cdot \text{kg}}\cdot 0,5\frac{1}{\text{Hz}}=$  

$=\frac{0,576\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+1,8048\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{4,6368\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 0,5\frac{1}{\text{s}}=\frac{2,3808\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{4,6368\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\cdot 0,5\text{Hz}\approx$  

$\approx 0,5\cdot 0,5\text{Hz}=0,25\text{Hz}$  

 

$c)$  

Początkową wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego układu ma postać:

$E_{\text{k.obr.0}}=\frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2$  

Wartość energii kinetycznej układu po zmianie położenia przez papugę ma postać:

$E_{\text{k.obr}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$  

Zatem bezwzględny przyrost energii ma postać:

$\Delta E=E_{\text{k.obr}}-E_{\text{k.obr.0}}$  

$\Delta E=\frac{1}{2}I{\omega }^2-\frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2$  

Oznacza to, że względny przyrost energii kinetycznej ma postać:

$\delta =\frac{\Delta E}{E_{\text{k.obr.0}}}\cdot 100\%$  

$\delta =\frac{\frac{1}{2}I{\omega }^2-\frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2}{\frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2}\cdot 100\%$  

$\delta =\frac{I{\omega }^2-I_0{\omega }_0^2}{I_0{\omega }_0^2}\cdot 100\%$  

$\delta =\left(\frac{I{\omega }^2}{I_0{\omega }_0^2}-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta =\left(\frac{I}{I_0}{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta =\left(\frac{1}{\frac{I_0}{I}}{\left(\frac{\frac{2\pi }{T}}{2\pi f_0}\right)}^2-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta =\left(\frac{1}{\frac{I_0}{I}}{\left(\frac{1}{T{f}_0}\right)}^2-1\right)\cdot 100\%$  

Podstawiamy wcześniej wyznaczone wartości do otrzymanego wzoru:

$\delta \approx \left(\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2\text{s}\cdot 0,25\text{Hz}}\right)}^2-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta \approx \left(\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{0,5}\right)}^2-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta \approx \left(\frac{1}{2}\cdot 2^2-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta \approx \left(\frac{1}{2}\cdot 4-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta \approx \left(2-1\right)\cdot 100\%$  

$\delta \approx 100\%$